Номер 177, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 177, страница 99.

Условие.

177.— а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увеличили на 0,2 м.

б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) $\Delta R$; 3) 0,1 см; 4) $h$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Изначально $a = 15$ м (меньшая сторона) и $b = 20$ м (большая сторона).
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь — по формуле $S = a \cdot b$.
Изначальные значения:
$P_0 = 2(15 + 20) = 70$ м.
$S_0 = 15 \cdot 20 = 300$ м².
Приращение функции $f(x)$ при изменении аргумента с $x_0$ на $x_0 + \Delta x$ равно $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Меньшую сторону $a$ увеличили на $\Delta a = 0,11$ м. Новая длина меньшей стороны $a_1 = 15 + 0,11 = 15,11$ м. Большая сторона $b$ не изменилась, $b_1 = 20$ м.

Найдем приращение периметра $\Delta P$:
Новый периметр: $P_1 = 2(a_1 + b_1) = 2(15,11 + 20) = 2 \cdot 35,11 = 70,22$ м.
Приращение периметра: $\Delta P = P_1 - P_0 = 70,22 - 70 = 0,22$ м.

Найдем приращение площади $\Delta S$:
Новая площадь: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 15,11 \cdot 20 = 302,2$ м².
Приращение площади: $\Delta S = S_1 - S_0 = 302,2 - 300 = 2,2$ м².
Ответ: приращение периметра $\Delta P = 0,22$ м, приращение площади $\Delta S = 2,2$ м².

2) Большую сторону $b$ увеличили на $\Delta b = 0,2$ м. Новая длина большей стороны $b_2 = 20 + 0,2 = 20,2$ м. Меньшая сторона $a$ не изменилась, $a_2 = 15$ м.

Найдем приращение периметра $\Delta P$:
Новый периметр: $P_2 = 2(a_2 + b_2) = 2(15 + 20,2) = 2 \cdot 35,2 = 70,4$ м.
Приращение периметра: $\Delta P = P_2 - P_0 = 70,4 - 70 = 0,4$ м.

Найдем приращение площади $\Delta S$:
Новая площадь: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 15 \cdot 20,2 = 303$ м².
Приращение площади: $\Delta S = S_2 - S_0 = 303 - 300 = 3$ м².
Ответ: приращение периметра $\Delta P = 0,4$ м, приращение площади $\Delta S = 3$ м².

б)

Радиус круга $R = 2$ см. Площадь круга вычисляется по формуле $S(R) = \pi R^2$.
Изначальная площадь: $S_0 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².
Погрешность (или приращение) площади $\Delta S$ при погрешности измерения радиуса $\Delta R$ вычисляется как разность между новой и старой площадью:
$\Delta S = S(R + \Delta R) - S(R) = \pi (R + \Delta R)^2 - \pi R^2 = \pi (R^2 + 2R\Delta R + (\Delta R)^2) - \pi R^2 = \pi (2R\Delta R + (\Delta R)^2)$.
Подставим значение $R = 2$ см в эту формулу:
$\Delta S = \pi (2 \cdot 2 \cdot \Delta R + (\Delta R)^2) = \pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$.

1) Погрешность измерения радиуса $\Delta R = 0,2$ см.

Найдем погрешность площади $\Delta S$:
$\Delta S = \pi (4 \cdot 0,2 + (0,2)^2) = \pi (0,8 + 0,04) = 0,84\pi$ см².
Ответ: $0,84\pi$ см².

2) Погрешность измерения радиуса равна $\Delta R$.

Погрешность площади $\Delta S$ выражается через $\Delta R$ общей формулой, выведенной выше для $R=2$:
$\Delta S = \pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$.
Ответ: $\pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$ см².

3) Погрешность измерения радиуса $\Delta R = 0,1$ см.

Найдем погрешность площади $\Delta S$:
$\Delta S = \pi (4 \cdot 0,1 + (0,1)^2) = \pi (0,4 + 0,01) = 0,41\pi$ см².
Ответ: $0,41\pi$ см².

4) Погрешность измерения радиуса равна $h$.

Это аналогично пункту 2), просто обозначим $\Delta R = h$.
$\Delta S = \pi (4h + h^2)$.
Ответ: $\pi (4h + h^2)$ см².