Номер 24, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 24, страница 96.

Условие.

24. Решите уравнение:

1) а) $2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2$;

в) $2 \cos^2 x - 5 \cos x = 3$;

б) $\operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;

г) $2 \sin^2 x + \sin x = 0$.

2) а) $6 \sin^2 x - 2 \sin 2x = 1$;

в) $4 \sin x \cos x = \sqrt{3}$;

б) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$.

Решение 5.

1) а) $2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Выполним обратную замену: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

1) б) $\tg^2 x - 4 \tg x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tg x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \tg x$.
Получаем уравнение: $t^2 - 4t + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) $\tg x = 1$.
$x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = 3$.
$x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \arctan(3) + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

1) в) $2 \cos^2 x - 5 \cos x = 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2 \cos^2 x - 5 \cos x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Выполним обратную замену: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

1) г) $2 \sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2 \sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sin x = 0$.
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + 1 = 0$.
$2 \sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) а) $6 \sin^2 x - 2 \sin 2x = 1$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
$6 \sin^2 x - 2(2 \sin x \cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x$
$6 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$5 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (предполагая, что $\cos x \neq 0$; если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и уравнение $5(\pm 1)^2 = 0$ неверно).
$5 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$5 \tg^2 x - 4 \tg x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tg x$: $5t^2 - 4t - 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$t = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{4 \pm 6}{10}$.
$t_1 = \frac{4+6}{10} = 1$, $t_2 = \frac{4-6}{10} = -\frac{1}{5}$.
Обратная замена:
1) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = -\frac{1}{5} \implies x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) б) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Уравнение можно переписать в виде:
$-(\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Разделим на 2:
$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) в) $4 \sin x \cos x = \sqrt{3}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
$2 \cdot (2 \sin x \cos x) = \sqrt{3}$
$2 \sin 2x = \sqrt{3}$
$\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$
Разделим на 2:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) г) $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 1$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
$(\cos 2x) \cdot 1 = 1$
$\cos 2x = 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим на 2:
$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.