Номер 21, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 21, страница 96.

Условие.

21. 1) Сформулируйте теорему о корне.

2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус?

3) Найдите значение выражения:

а) arcsin (-1) + arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) arcsin $\frac{1}{2}$ + arcsin $(-\frac{\sqrt{3}}{2})$;

в) arcsin $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - arcsin 1;

г) arcsin 0 - arcsin $(-\frac{1}{2})$.

Решение 5.

1) Теорема о корне, являющаяся следствием из теоремы Безу, формулируется следующим образом: число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда этот многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x-a)$ без остатка. Это означает, что равенство $P(a)=0$ эквивалентно тому, что многочлен $P(x)$ может быть представлен в виде произведения $P(x) = (x-a)Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый другой многочлен.

Ответ: Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.

2) Арксинусом числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) называется такое число (угол) $\alpha$, которое принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и синус которого равен $a$.

Таким образом, равенство $\alpha = \arcsin a$ является верным, если одновременно выполняются два условия:

1. $\sin \alpha = a$

2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Функция арксинус является обратной к функции синус на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то область определения арксинуса также является отрезком $[-1; 1]$. Арксинус определен для чисел $a$, удовлетворяющих условию $|a| \le 1$.

Ответ: Арксинусом числа $a$ называется угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Арксинус определен для всех чисел $a$ из отрезка $[-1; 1]$.

3)

а) $\arcsin(-1) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значения каждого слагаемого по отдельности:

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и угол $-\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь выполним сложение: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

б) $\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем значения каждого слагаемого. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним сложение: $\frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

в) $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin 1$

Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого:

$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г) $\arcsin 0 - \arcsin(-\frac{1}{2})$

Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого. Используем свойство нечетности арксинуса.

$\arcsin 0 = 0$, так как $\sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь выполним вычитание: $0 - (-\frac{\pi}{6}) = 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$