Номер 21, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 21, страница 96.
№21 (с. 96)
Условие. №21 (с. 96)
скриншот условия

21. 1) Сформулируйте теорему о корне.
2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус?
3) Найдите значение выражения:
а) arcsin (-1) + arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
б) arcsin $\frac{1}{2}$ + arcsin $(-\frac{\sqrt{3}}{2})$;
в) arcsin $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - arcsin 1;
г) arcsin 0 - arcsin $(-\frac{1}{2})$.
Решение 5. №21 (с. 96)
1) Теорема о корне, являющаяся следствием из теоремы Безу, формулируется следующим образом: число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда этот многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x-a)$ без остатка. Это означает, что равенство $P(a)=0$ эквивалентно тому, что многочлен $P(x)$ может быть представлен в виде произведения $P(x) = (x-a)Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый другой многочлен.
Ответ: Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.
2) Арксинусом числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) называется такое число (угол) $\alpha$, которое принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и синус которого равен $a$.
Таким образом, равенство $\alpha = \arcsin a$ является верным, если одновременно выполняются два условия:
1. $\sin \alpha = a$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$
Функция арксинус является обратной к функции синус на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то область определения арксинуса также является отрезком $[-1; 1]$. Арксинус определен для чисел $a$, удовлетворяющих условию $|a| \le 1$.
Ответ: Арксинусом числа $a$ называется угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Арксинус определен для всех чисел $a$ из отрезка $[-1; 1]$.
3)
а) $\arcsin(-1) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$
Найдем значения каждого слагаемого по отдельности:
$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и угол $-\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Теперь выполним сложение: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$
б) $\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
Найдем значения каждого слагаемого. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь выполним сложение: $\frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$
в) $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin 1$
Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого:
$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$
г) $\arcsin 0 - \arcsin(-\frac{1}{2})$
Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого. Используем свойство нечетности арксинуса.
$\arcsin 0 = 0$, так как $\sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6}$.
Теперь выполним вычитание: $0 - (-\frac{\pi}{6}) = 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 21 расположенного на странице 96 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21 (с. 96), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.