Номер 22, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 22, страница 96.

Условие.

22. 1) Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. Для каких чисел они определены?

2) Найдите значение выражения:

а) $arccos (-1) + arctg \sqrt{3}$;

б) $arccos \frac{1}{2} + arcsin \frac{1}{2}$;

в) $arctg (-1) - arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $arccos 0 + arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решение 5.

1)

Арккосинус числа a (обозначается $ \arccos a $) — это такое число (угол) $ \alpha $ из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. То есть, $ \arccos a = \alpha $, если $ \cos \alpha = a $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.
Функция арккосинус определена для чисел $ a $, принадлежащих отрезку $ [-1; 1] $, так как область значений функции косинус — это отрезок $ [-1; 1] $.

Арктангенс числа a (обозначается $ \operatorname{arctg} a $) — это такое число (угол) $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. То есть, $ \operatorname{arctg} a = \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = a $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Функция арктангенс определена для любых действительных чисел $ a $, то есть для $ a \in (-\infty; +\infty) $.

2)

а) $ \arccos(-1) + \operatorname{arctg} \sqrt{3} $
Найдем значение каждого слагаемого по отдельности.
$ \arccos(-1) $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен -1. Этим углом является $ \pi $. Итак, $ \arccos(-1) = \pi $.
$ \operatorname{arctg} \sqrt{3} $ — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \sqrt{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $. Итак, $ \operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $.
Сложим полученные значения:
$ \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{3} $.

б) $ \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} $
Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ для любого $ x \in [-1; 1] $.
В данном случае $ x = \frac{1}{2} $, что удовлетворяет условию $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $.
Следовательно, $ \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.
(Альтернативное решение: $ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $ и $ \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.)
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

в) $ \operatorname{arctg}(-1) - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $
Найдем значение каждого члена выражения.
$ \operatorname{arctg}(-1) $ — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен -1. Этим углом является $ -\frac{\pi}{4} $. Итак, $ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $. Итак, $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $.
Вычтем второе значение из первого:
$ -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} $.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{12} $.

г) $ \arccos 0 + \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} $
Найдем значение каждого слагаемого.
$ \arccos 0 $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен 0. Этим углом является $ \frac{\pi}{2} $. Итак, $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.
$ \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} $ (или $ \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $) — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $. Итак, $ \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} $.
Сложим полученные значения:
$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.