Номер 16, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 16, страница 95.
№16 (с. 95)
Условие. №16 (с. 95)
скриншот условия

16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким свойством обладают их графики?
2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной:
а) $y = \frac{\sin x}{x}$;
б) $y = x + x^5$;
в) $y = x \cos x$;
г) $y = 3x^2 + x^6$.
3) Постройте график функции $f$, если известно, что:
а) $f$ — нечетная; $f (x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0];$
б) $f$ — четная; $f (x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty);$
в) $f$ — четная; $f (x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0];$
г) $f$ — четная; $f (x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty).$
Решение 5. №16 (с. 95)
1)
Функция $y = f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).
Ответ: Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$, ее график симметричен относительно оси OY. Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$, ее график симметричен относительно начала координат.
2)
а) $y = \frac{\sin x}{x}$
Пусть $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:
$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.
б) $y = x + x^5$
Пусть $f(x) = x + x^5$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:
$f(-x) = (-x) + (-x)^5 = -x - x^5 = -(x + x^5) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.
в) $y = x \cos x$
Пусть $f(x) = x \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:
$f(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -(x \cos x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.
г) $y = 3x^2 + x^6$
Пусть $f(x) = 3x^2 + x^6$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:
$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^6 = 3x^2 + x^6 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.
3)
а) $f$ — нечетная; $f(x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0]$
Так как функция $f$ нечетная, то $f(x) = -f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:
$f(x) = -f(-x) = -(\cos(-x) - 1) = -(\cos x - 1) = 1 - \cos x$.
Чтобы построить график, нужно построить график $y = \cos x - 1$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно начала координат.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} \cos x - 1, & \text{при } x \le 0 \\ 1 - \cos x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.
б) $f$ — четная; $f(x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty)$
Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:
$f(x) = f(-x) = ((-x) - 1)^3 = (-(x+1))^3 = -(x+1)^3$.
Чтобы построить график, нужно построить график $y = (x - 1)^3$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} -(x+1)^3, & \text{при } x < 0 \\ (x - 1)^3, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.
в) $f$ — четная; $f(x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0]$
Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:
$f(x) = f(-x) = \sin(-x) = -\sin x$.
Чтобы построить график, нужно построить график $y = \sin x$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x \le 0 \\ -\sin x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.
г) $f$ — четная; $f(x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty)$
Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:
$f(x) = f(-x) = 4(-x) - (-x)^2 = -4x - x^2$.
Чтобы построить график, нужно построить график параболы $y = 4x - x^2$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} -4x - x^2, & \text{при } x < 0 \\ 4x - x^2, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 95 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16 (с. 95), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.