Номер 16, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 16, страница 95.

Условие.

16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким свойством обладают их графики?

2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной:

а) $y = \frac{\sin x}{x}$;

б) $y = x + x^5$;

в) $y = x \cos x$;

г) $y = 3x^2 + x^6$.

3) Постройте график функции $f$, если известно, что:

а) $f$ — нечетная; $f (x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0];$

б) $f$ — четная; $f (x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty);$

в) $f$ — четная; $f (x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0];$

г) $f$ — четная; $f (x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty).$

Решение 5.

1)

Функция $y = f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).

Ответ: Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$, ее график симметричен относительно оси OY. Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$, ее график симметричен относительно начала координат.

2)

а) $y = \frac{\sin x}{x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = x + x^5$

Пусть $f(x) = x + x^5$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = (-x) + (-x)^5 = -x - x^5 = -(x + x^5) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = x \cos x$

Пусть $f(x) = x \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -(x \cos x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $y = 3x^2 + x^6$

Пусть $f(x) = 3x^2 + x^6$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^6 = 3x^2 + x^6 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3)

а) $f$ — нечетная; $f(x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0]$

Так как функция $f$ нечетная, то $f(x) = -f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:

$f(x) = -f(-x) = -(\cos(-x) - 1) = -(\cos x - 1) = 1 - \cos x$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = \cos x - 1$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно начала координат.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \cos x - 1, & \text{при } x \le 0 \\ 1 - \cos x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.

б) $f$ — четная; $f(x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty)$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = ((-x) - 1)^3 = (-(x+1))^3 = -(x+1)^3$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = (x - 1)^3$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -(x+1)^3, & \text{при } x < 0 \\ (x - 1)^3, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.

в) $f$ — четная; $f(x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0]$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = \sin(-x) = -\sin x$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = \sin x$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x \le 0 \\ -\sin x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.

г) $f$ — четная; $f(x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty)$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = 4(-x) - (-x)^2 = -4x - x^2$.

Чтобы построить график, нужно построить график параболы $y = 4x - x^2$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -4x - x^2, & \text{при } x < 0 \\ 4x - x^2, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.