Номер 10, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 10, страница 93.

Условие.

10. 1) Запишите формулы половинного аргумента.

2) Найдите:

a) $ \cos \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

б) $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = -\frac{2}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

в) $ \sin \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = -\frac{3}{7} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

г) $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{2}{5} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

3) Упростите выражение:

a) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $;

б) $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $;

в) $ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

г) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

Решение 5.

1)

Формулы половинного аргумента выражают тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции угла $\alpha$.

Основные формулы:

• Синус половинного угла: $ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $
• Косинус половинного угла: $ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $
• Тангенс половинного угла: $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} $

Знак (плюс или минус) в этих формулах определяется тем, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Также существуют формулы для тангенса и котангенса половинного угла, не содержащие квадратных корней, которые часто более удобны в вычислениях:

• $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $
• $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} $

2)

а)

Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найти $\cos \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу косинуса половинного угла: $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$.

2. Определим знак. По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти промежуток для $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Этот угол находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, мы выбираем знак "минус".

3. Вычисляем значение:

$ \cos \frac{\alpha}{2} = - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = - \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = - \sqrt{\frac{\frac{4}{3}}{2}} = - \sqrt{\frac{4}{6}} = - \sqrt{\frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ - \frac{\sqrt{6}}{3} $.

б)

Дано: $\sin \alpha = -\frac{2}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найти $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$.

1. Для нахождения тангенса половинного угла воспользуемся формулой $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$. Для этого сначала нужно найти $\cos \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.

Так как косинус в III четверти отрицателен, $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

3. Теперь вычисляем $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$:

$ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{3})}{-\frac{2}{3}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3+\sqrt{5}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3+\sqrt{5}}{2} $.

в)

Дано: $\sin \alpha = -\frac{3}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найти $\sin \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу синуса половинного угла: $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$. Сначала найдем $\cos \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен.

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} $.

Следовательно, $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{40}{49}} = -\frac{\sqrt{40}}{7} = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

3. Определим знак для $\sin \frac{\alpha}{2}$. Из $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ следует, что $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Этот угол находится во второй четверти, где синус положителен. Выбираем знак "плюс".

4. Вычисляем значение:

$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{2\sqrt{10}}{7})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{10}}{7}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7+2\sqrt{10}}{7}}{2}} = \sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}} $.

Ответ: $ \sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}} $.

г)

Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найти $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу $\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$. Для этого найдем $\sin \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), где синус отрицателен.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} $.

Следовательно, $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

3. Вычисляем $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$:

$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{7}{\sqrt{21}} = -\frac{7\sqrt{21}}{21} = -\frac{\sqrt{21}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{21}}{3} $.

3)

а)

Упростим выражение $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $.

1. Заметим, что дробь $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ является одной из формул для тангенса половинного угла: $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \text{tg} \frac{\alpha}{2}$.

2. Подставим это в выражение:

$ \text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $.

3. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = 1$.

4. Выражение принимает вид $1 - \sin^2 \alpha$.

5. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

1. Упростим первую дробь, используя формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$:

$ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \text{ctg}\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

3. Заменим $\text{ctg}\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и перемножим дроби:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

Дальнейшее существенное упрощение этого выражения стандартными методами невозможно.

Ответ: $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $.

Это одна из стандартных формул для тангенса половинного угла. Покажем ее вывод:

$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

г)

Упростим выражение $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

Это также является стандартной формулой для тангенса половинного угла. Вывод:

$ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{1 + (2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1)} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.