Номер 6, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 6, страница 92.

Условие.

6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

a) $\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)$;

б) $\text{ctg}\frac{21\pi}{13}$;

в) $\text{tg}\left(-\frac{14\pi}{3}\right)$;

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

a) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \text{tg}\frac{7\pi}{4}$;

б) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(-\alpha)}{\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}$;

в) $\text{ctg}\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$;

г) $\frac{\sin(\alpha - \pi)\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{ctg}(\alpha - \pi)}$.

Решение 5.

1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

Мнемоническое правило для формул приведения состоит из двух шагов:

Шаг 1: Определение названия функции.
Нужно посмотреть на угол, который прибавляется или вычитается.

• Если это угол "горизонтальной" оси ($\pi$, $2\pi$, $3\pi$, ...), то название функции не меняется (как бы "качаем головой - нет").
• Если это угол "вертикальной" оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, ...), то название функции меняется на кофункцию: $\sin$ на $\cos$, $\cos$ на $\sin$, $\tg$ на $\ctg$, $\ctg$ на $\tg$ (как бы "киваем головой - да").

Шаг 2: Определение знака.
Знак перед новой функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится первоначальный угол. При этом угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

Примеры формул приведения:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$:
  1. Угол $\frac{\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\cos\alpha$.
  2. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\sin$) положительна.
  Результат: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.
• $\cos(\pi - \alpha)$:
  1. Угол $\pi$ (горизонтальный) $\implies$ функция не меняется, остается $\cos\alpha$.
  2. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\cos$) отрицательна.
  Результат: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.
• $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$:
  1. Угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\ctg\alpha$.
  2. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где исходная функция ($\tg$) отрицательна.
  Результат: $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg\alpha$.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $\sin(-\frac{13\pi}{8})$

Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{13\pi}{8}) = -\sin(\frac{13\pi}{8})$.
Представим аргумент в виде, удобном для формулы приведения:
$\frac{13\pi}{8} = \frac{16\pi - 3\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8}$.
$-\sin(\frac{13\pi}{8}) = -\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8})$.
Угол $(2\pi - \frac{3\pi}{8})$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, функция не меняется. $-\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = -(-\sin\frac{3\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ является наименьшим положительным ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$).
Ответ: $\sin\frac{3\pi}{8}$.

б) $\ctg\frac{21\pi}{13}$

Период котангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{21\pi}{13} = \frac{13\pi + 8\pi}{13} = \pi + \frac{8\pi}{13}$.
$\ctg(\frac{21\pi}{13}) = \ctg(\pi + \frac{8\pi}{13})$.
Угол $(\pi + \frac{8\pi}{13})$ находится в III четверти, где котангенс положителен, функция не меняется. $\ctg(\pi + \frac{8\pi}{13}) = \ctg\frac{8\pi}{13}$.
Аргумент $\frac{8\pi}{13}$ больше $\frac{\pi}{2}$, поэтому приведем его к аргументу из I четверти: $\frac{8\pi}{13} = \pi - \frac{5\pi}{13}$.
$\ctg\frac{8\pi}{13} = \ctg(\pi - \frac{5\pi}{13})$.
Угол $(\pi - \frac{5\pi}{13})$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен, функция не меняется. $\ctg(\pi - \frac{5\pi}{13}) = -\ctg\frac{5\pi}{13}$.
Ответ: $-\ctg\frac{5\pi}{13}$.

в) $\tg(-\frac{14\pi}{3})$

Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-x) = -\tg(x)$.
$\tg(-\frac{14\pi}{3}) = -\tg(\frac{14\pi}{3})$.
Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{14\pi}{3} = \frac{12\pi + 2\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$-\tg(\frac{14\pi}{3}) = -\tg(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\tg\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$-\tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\tg\frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tg\frac{\pi}{3}$.

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$

Период косинуса равен $2\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$\cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\cos\frac{\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

а) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \tg\frac{7\pi}{4}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы приведения:
$\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.
$\cos\frac{5\pi}{8} = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\sin\frac{\pi}{8}$.
$\tg\frac{7\pi}{4} = \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg\frac{\pi}{4} = -1$.
Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:
$\sin\frac{\pi}{8} + (-\sin\frac{\pi}{8}) + (-1) = \sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} - 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

б) $\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2})\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}$

Упростим числитель:
$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$
$\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$
Числитель: $(\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\tg\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2}-\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -(-\cos\alpha) = \cos\alpha$
$\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\tg\alpha$
$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$
Знаменатель: $(\cos\alpha)(-\tg\alpha)(-\sin\alpha) = \cos\alpha\tg\alpha\sin\alpha = \cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha = \sin^2\alpha$.
Дробь: $\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

в) $\ctg\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$

Упростим каждое слагаемое:
$\ctg\frac{9\pi}{4} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
$\sin\frac{37\pi}{12} = \sin(3\pi + \frac{\pi}{12}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
$\cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{6\pi+\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
Подставляем значения в выражение:
$1 + (-\sin\frac{\pi}{12}) - (-\sin\frac{\pi}{12}) = 1 - \sin\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12} = 1$.
Ответ: $1$.

г) $\frac{\sin(\alpha-\pi)\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\ctg(\alpha-\pi)}$

Упростим числитель:
$\sin(\alpha-\pi) = \sin(-(\pi-\alpha)) = -\sin(\pi-\alpha) = -\sin\alpha$
$\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\ctg\alpha$
Числитель: $(-\sin\alpha)(-\ctg\alpha) = \sin\alpha\ctg\alpha = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = \sin\alpha$
$\ctg(\alpha-\pi) = \ctg(-(\pi-\alpha)) = -\ctg(\pi-\alpha) = -(-\ctg\alpha) = \ctg\alpha$
Знаменатель: $(\sin\alpha)(\ctg\alpha) = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Дробь: $\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.