Номер 6, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 6, страница 92.

№6 (с. 92)
Условие. №6 (с. 92)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 92, номер 6, Условие

6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

a) $\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)$;

б) $\text{ctg}\frac{21\pi}{13}$;

в) $\text{tg}\left(-\frac{14\pi}{3}\right)$;

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

a) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \text{tg}\frac{7\pi}{4}$;

б) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(-\alpha)}{\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}$;

в) $\text{ctg}\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$;

г) $\frac{\sin(\alpha - \pi)\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{ctg}(\alpha - \pi)}$.

Решение 5. №6 (с. 92)

1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

Мнемоническое правило для формул приведения состоит из двух шагов:

Шаг 1: Определение названия функции.
Нужно посмотреть на угол, который прибавляется или вычитается.

  • Если это угол "горизонтальной" оси ($\pi$, $2\pi$, $3\pi$, ...), то название функции не меняется (как бы "качаем головой - нет").
  • Если это угол "вертикальной" оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, ...), то название функции меняется на кофункцию: $\sin$ на $\cos$, $\cos$ на $\sin$, $\tg$ на $\ctg$, $\ctg$ на $\tg$ (как бы "киваем головой - да").

Шаг 2: Определение знака.
Знак перед новой функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится первоначальный угол. При этом угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

Примеры формул приведения:

  • $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$:
    1. Угол $\frac{\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\cos\alpha$.
    2. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\sin$) положительна.
    Результат: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.
  • $\cos(\pi - \alpha)$:
    1. Угол $\pi$ (горизонтальный) $\implies$ функция не меняется, остается $\cos\alpha$.
    2. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\cos$) отрицательна.
    Результат: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.
  • $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$:
    1. Угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\ctg\alpha$.
    2. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где исходная функция ($\tg$) отрицательна.
    Результат: $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg\alpha$.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $\sin(-\frac{13\pi}{8})$

Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{13\pi}{8}) = -\sin(\frac{13\pi}{8})$.
Представим аргумент в виде, удобном для формулы приведения:
$\frac{13\pi}{8} = \frac{16\pi - 3\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8}$.
$-\sin(\frac{13\pi}{8}) = -\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8})$.
Угол $(2\pi - \frac{3\pi}{8})$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, функция не меняется. $-\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = -(-\sin\frac{3\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ является наименьшим положительным ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$).
Ответ: $\sin\frac{3\pi}{8}$.

б) $\ctg\frac{21\pi}{13}$

Период котангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{21\pi}{13} = \frac{13\pi + 8\pi}{13} = \pi + \frac{8\pi}{13}$.
$\ctg(\frac{21\pi}{13}) = \ctg(\pi + \frac{8\pi}{13})$.
Угол $(\pi + \frac{8\pi}{13})$ находится в III четверти, где котангенс положителен, функция не меняется. $\ctg(\pi + \frac{8\pi}{13}) = \ctg\frac{8\pi}{13}$.
Аргумент $\frac{8\pi}{13}$ больше $\frac{\pi}{2}$, поэтому приведем его к аргументу из I четверти: $\frac{8\pi}{13} = \pi - \frac{5\pi}{13}$.
$\ctg\frac{8\pi}{13} = \ctg(\pi - \frac{5\pi}{13})$.
Угол $(\pi - \frac{5\pi}{13})$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен, функция не меняется. $\ctg(\pi - \frac{5\pi}{13}) = -\ctg\frac{5\pi}{13}$.
Ответ: $-\ctg\frac{5\pi}{13}$.

в) $\tg(-\frac{14\pi}{3})$

Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-x) = -\tg(x)$.
$\tg(-\frac{14\pi}{3}) = -\tg(\frac{14\pi}{3})$.
Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{14\pi}{3} = \frac{12\pi + 2\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$-\tg(\frac{14\pi}{3}) = -\tg(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\tg\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$-\tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\tg\frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tg\frac{\pi}{3}$.

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$

Период косинуса равен $2\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$\cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\cos\frac{\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

а) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \tg\frac{7\pi}{4}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы приведения:
$\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.
$\cos\frac{5\pi}{8} = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\sin\frac{\pi}{8}$.
$\tg\frac{7\pi}{4} = \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg\frac{\pi}{4} = -1$.
Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:
$\sin\frac{\pi}{8} + (-\sin\frac{\pi}{8}) + (-1) = \sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} - 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

б) $\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2})\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}$

Упростим числитель:
$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$
$\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$
Числитель: $(\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\tg\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2}-\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -(-\cos\alpha) = \cos\alpha$
$\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\tg\alpha$
$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$
Знаменатель: $(\cos\alpha)(-\tg\alpha)(-\sin\alpha) = \cos\alpha\tg\alpha\sin\alpha = \cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha = \sin^2\alpha$.
Дробь: $\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

в) $\ctg\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$

Упростим каждое слагаемое:
$\ctg\frac{9\pi}{4} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
$\sin\frac{37\pi}{12} = \sin(3\pi + \frac{\pi}{12}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
$\cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{6\pi+\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
Подставляем значения в выражение:
$1 + (-\sin\frac{\pi}{12}) - (-\sin\frac{\pi}{12}) = 1 - \sin\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12} = 1$.
Ответ: $1$.

г) $\frac{\sin(\alpha-\pi)\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\ctg(\alpha-\pi)}$

Упростим числитель:
$\sin(\alpha-\pi) = \sin(-(\pi-\alpha)) = -\sin(\pi-\alpha) = -\sin\alpha$
$\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\ctg\alpha$
Числитель: $(-\sin\alpha)(-\ctg\alpha) = \sin\alpha\ctg\alpha = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = \sin\alpha$
$\ctg(\alpha-\pi) = \ctg(-(\pi-\alpha)) = -\ctg(\pi-\alpha) = -(-\ctg\alpha) = \ctg\alpha$
Знаменатель: $(\sin\alpha)(\ctg\alpha) = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Дробь: $\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 92 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 92), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.