Номер 3, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 3, страница 91.

Условие.

3. 1) Дайте определения тангенса и котангенса числа $ \alpha $. При каких значениях $ \alpha $ определены $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $?

2) Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \alpha $ равно:

а) $ \frac{\pi}{6} $;

б) $ -\frac{13\pi}{4} $;

в) $ -\frac{7\pi}{6} $;

г) $ \frac{\pi}{3} $.

3) Найдите значения $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \alpha $ равно:

а) 1,7;

б) -0,4;

в) 2,3;

г) -0,5.

Решение 5.

1) Тангенсом числа (угла) $\alpha$ называется отношение синуса этого числа к его косинусу. Формула для вычисления тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Котангенсом числа (угла) $\alpha$ называется отношение косинуса этого числа к его синусу. Формула для вычисления котангенса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Функция тангенс, $\tg \alpha$, определена для всех значений $\alpha$, для которых знаменатель $\cos \alpha$ не обращается в ноль. Это условие выполняется, когда $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Функция котангенс, $\ctg \alpha$, определена для всех значений $\alpha$, для которых знаменатель $\sin \alpha$ не обращается в ноль. Это условие выполняется, когда $\alpha \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2)

а) Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\ctg \frac{\pi}{6} = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

б) Для $\alpha = -\frac{13\pi}{4}$:
Используем свойство нечетности тангенса и котангенса: $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$ и $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -\tg(\frac{13\pi}{4})$.
Так как период тангенса равен $\pi$, мы можем упростить угол:
$\frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tg(\frac{13\pi}{4}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$.
Котангенс является обратной функцией к тангенсу, поэтому:
$\ctg(-\frac{13\pi}{4}) = \frac{1}{\tg(-\frac{13\pi}{4})} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$, $\ctg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$.

в) Для $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$:
$\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\tg(\frac{7\pi}{6})$.
Упростим угол, используя периодичность тангенса:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
$\tg(\frac{7\pi}{6}) = \tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\ctg(-\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{\tg(-\frac{7\pi}{6})} = \frac{1}{-\sqrt{3}/3} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\ctg(-\frac{7\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

г) Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$:
$\tg \frac{\pi}{3} = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
$\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Для нахождения значений тангенса и котангенса для данных углов, выраженных в радианах в виде десятичных дробей, необходимо использовать калькулятор. Результаты округлены до четырех знаков после запятой.

а) Для $\alpha = 1,7$:
$\tg(1,7) \approx -7,6966$.
$\ctg(1,7) = \frac{1}{\tg(1,7)} \approx \frac{1}{-7,6966} \approx -0,1300$.
Ответ: $\tg(1,7) \approx -7,6966$, $\ctg(1,7) \approx -0,1300$.

б) Для $\alpha = -0,4$:
$\tg(-0,4) \approx -0,4228$.
$\ctg(-0,4) = \frac{1}{\tg(-0,4)} \approx \frac{1}{-0,4228} \approx -2,3652$.
Ответ: $\tg(-0,4) \approx -0,4228$, $\ctg(-0,4) \approx -2,3652$.

в) Для $\alpha = 2,3$:
$\tg(2,3) \approx -1,1192$.
$\ctg(2,3) = \frac{1}{\tg(2,3)} \approx \frac{1}{-1,1192} \approx -0,8935$.
Ответ: $\tg(2,3) \approx -1,1192$, $\ctg(2,3) \approx -0,8935$.

г) Для $\alpha = -0,5$:
$\tg(-0,5) \approx -0,5463$.
$\ctg(-0,5) = \frac{1}{\tg(-0,5)} \approx \frac{1}{-0,5463} \approx -1,8305$.
Ответ: $\tg(-0,5) \approx -0,5463$, $\ctg(-0,5) \approx -1,8305$.