Номер 173, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 173, страница 84.

Условие.

173.-

a) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0;$

б) $\frac{3}{5 \operatorname{tg} x + 8} = 1;$

в) $\frac{5}{3 \sin x + 4} = 2;$

г) $1 - \sin 2x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае, пусть $\alpha = 2x$, тогда $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (2\cos 2x + \sin 2x) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $\sin 2x = 0$
$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
$x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos 2x + \sin 2x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos 2x$. Это можно сделать, так как если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что невозможно, поскольку $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$.
$\frac{2\cos 2x}{\cos 2x} + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 0$
$2 + \tan 2x = 0$
$\tan 2x = -2$
$2x = \arctan(-2) + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = -\arctan 2 + n\pi$
$x = -\frac{\arctan 2}{2} + \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, $x = -\frac{\arctan 2}{2} + \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{3}{5\tan x + 8} = 1$

Уравнение имеет смысл при условии, что знаменатель не равен нулю: $5\tan x + 8 \neq 0$. Также должно быть определено значение $\tan x$, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $5\tan x + 8$:
$3 = 1 \cdot (5\tan x + 8)$
$3 = 5\tan x + 8$
$5\tan x = 3 - 8$
$5\tan x = -5$
$\tan x = -1$
Проверим условие $5\tan x + 8 \neq 0$. При $\tan x = -1$ получаем $5(-1) + 8 = -5 + 8 = 3 \neq 0$. Условие выполняется.
Решаем уравнение $\tan x = -1$:
$x = \arctan(-1) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{5}{3\sin x + 4} = 2$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $3\sin x + 4 \neq 0$. Так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $3(-1) + 4 \le 3\sin x + 4 \le 3(1) + 4$, что дает $1 \le 3\sin x + 4 \le 7$.
Знаменатель всегда положителен и не равен нулю, поэтому ограничений на $x$ нет.
Умножим обе части уравнения на знаменатель:
$5 = 2(3\sin x + 4)$
$5 = 6\sin x + 8$
$6\sin x = 5 - 8$
$6\sin x = -3$
$\sin x = -\frac{3}{6}$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + k\pi$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Это решение можно также записать в виде двух серий:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2m\pi$, $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $1 - \sin 2x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 = \cos^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Для $\alpha = \frac{x}{2}$: $\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1$ и $2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$.
Таким образом, правая часть уравнения равна $1 - \sin x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 - \sin 2x = 1 - \sin x$
$-\sin 2x = -\sin x$
$\sin 2x = \sin x$
Перенесем все в левую часть:
$\sin 2x - \sin x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x - \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin x = 0$
$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - 1 = 0$
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяем все найденные решения.
Ответ: $x = k\pi$, $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.