Номер 171, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 171, страница 84.

Условие.

171.-

a) $2\sin^2 x = \sqrt{3}\sin 2x;$

б) $\sqrt{3}\operatorname{tg} x - \sqrt{3}\operatorname{ctg} x = 2;$

в) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0;$

г) $\operatorname{tg} x = 3\operatorname{ctg} x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin 2x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin^2 x = \sqrt{3} (2 \sin x \cos x)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x = 0$

$2 \sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Заметим, что $\cos x \neq 0$, иначе из уравнения следовало бы, что $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \tan x - \sqrt{3} \cot x = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:

$\sqrt{3} \tan x - \frac{\sqrt{3}}{\tan x} = 2$

Сделаем замену $y = \tan x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{3} y - \frac{\sqrt{3}}{y} = 2$

Умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует ОДЗ):

$\sqrt{3} y^2 - \sqrt{3} = 2y$

$\sqrt{3} y^2 - 2y - \sqrt{3} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

$y_1 = \frac{2+4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$y_2 = \frac{2-4}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Вернемся к замене $\tan x = y$:

1) $\tan x = \sqrt{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно одновременно ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + \sqrt{3} = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Решением этого уравнения является:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\tan x = 3 \cot x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\cot x$ на $\frac{1}{\tan x}$:

$\tan x = 3 \cdot \frac{1}{\tan x}$

Умножим обе части на $\tan x$ (при условии $\tan x \neq 0$, что соответствует ОДЗ):

$\tan^2 x = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\tan x = \sqrt{3}$ или $\tan x = -\sqrt{3}$

Решения для этих двух случаев:

1) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.