Номер 168, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 168, страница 84.

Условие.

168. a) $2 \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0;$

б) $4 \cos^2 x - 3 = 0;$

в) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x = 0;$

г) $4 \sin^2 x - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Это частный случай. Решения этого уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = -\sqrt{3}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения находятся по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$:

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) + 2\pi n$

$x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\cos^2 x - 3 = 0$

Выразим $\cos^2 x$:

$4\cos^2 x = 3$

$\cos^2 x = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти четыре серии решений ($\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}$) можно объединить в одну более компактную формулу.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3}\tg^2 x - 3\tg x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\tg x$. Вынесем общий множитель $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\sqrt{3}\tg x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\tg x = 0$

Решения этого уравнения:
$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\sqrt{3}\tg x - 3 = 0$

$\sqrt{3}\tg x = 3$

$\tg x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Решения этого уравнения находятся по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$:

$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения обоих уравнений.

Ответ: $x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4\sin^2 x - 1 = 0$

Выразим $\sin^2 x$:

$4\sin^2 x = 1$

$\sin^2 x = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin x = \pm \frac{1}{2}$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решения по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Решения первого уравнения соответствуют углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Решения второго — углам $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$) и $\frac{7\pi}{6}$. Все эти серии решений можно объединить.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.