Номер 164, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 164, страница 83.

Условие.

164. а) $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0;$

б) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

в) $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0;$

г) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
$t_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\sin x = -1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $3t^2 - 5t - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем $t_1 = -\frac{1}{3}$:
$\sin x = -\frac{1}{3}$.
$x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, решение можно записать в виде:
$x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0$
Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $4t^2 + 11t - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
$t_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Корень $t_1 = -3$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_2 = \frac{1}{4}$:
$\sin x = \frac{1}{4}$.
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.