Номер 158, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 158, страница 80.

Условие.

Решите неравенства (158—163).

158.— а) $ \sin 2x < \frac{1}{2};$

б) $ \cos \frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $ \sin \frac{x}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $ \tan 5x > 1.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sin 2x < \frac{1}{2}$

Для решения данного неравенства введем новую переменную. Пусть $t = 2x$. Тогда исходное неравенство примет вид:
$\sin t < \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Сначала найдем значения $t$, для которых $\sin t = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Используя тригонометрическую окружность, определим интервалы, на которых ордината (значение синуса) меньше $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, лежащей ниже прямой $y=\frac{1}{2}$. С учетом периодичности функции синус, решение для $t$ можно записать в виде:
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
(Этот интервал можно также записать как $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$)

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$-\frac{7\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos \frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид:
$\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это неравенство. Значения $t$, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $t = \pm \frac{\pi}{6}$.

На тригонометрической окружности значения косинуса (абсциссы) больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для углов, находящихся между $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. С учетом периодичности функции косинус, общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $t = \frac{x}{3}$:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Умножим все части неравенства на 3:
$-\frac{3\pi}{6} + 6\pi k < x < \frac{3\pi}{6} + 6\pi k$
Упростив, получаем:
$-\frac{\pi}{2} + 6\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 6\pi k; \frac{\pi}{2} + 6\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin \frac{x}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид:
$\sin t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем корни уравнения $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $t_2 = -\frac{2\pi}{3}$ (или $t_1 = \frac{4\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{3}$).

На тригонометрической окружности неравенству $\sin t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют углы, ордината которых меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга расположена между точками $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Общее решение для $t$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
(Эквивалентная запись: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$)

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части неравенства на 2:
$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k < x < -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\text{tg } 5x > 1$

Пусть $t = 5x$. Тогда неравенство принимает вид:
$\text{tg } t > 1$

Решим это неравенство. Тангенс равен 1 при $t = \frac{\pi}{4}$. Функция $\text{tg } t$ возрастает на каждом из своих интервалов определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Следовательно, неравенство $\text{tg } t > 1$ выполняется от точки, где $\text{tg } t = 1$, до ближайшей вертикальной асимптоты $t = \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности тангенса (период равен $\pi$), общее решение для $t$ будет:
$\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 5x$:
$\frac{\pi}{4} + \pi k < 5x < \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделим все части неравенства на 5:
$\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5})$, $k \in \mathbb{Z}$.