Номер 155, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 155, страница 80.

Условие.

155. a) $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $;

б) $ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} $;

в) $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

г) $ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{1}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует точкам, абсцисса которых равна $-\frac{1}{2}$.

Эти точки соответствуют углам $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{2\pi}{3}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x$ (абсцисса точки на окружности) больше или равен $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$, включая точки на самой прямой.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{\pi}{4}$ и заканчивается на угле $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{6}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, включая точки на самой прямой.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$. Угол $-\frac{3\pi}{4}$ на окружности можно также представить как $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ для удобства записи интервала.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается на угле $\frac{5\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.