Номер 155, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 155, страница 80.

№155 (с. 80)
Условие. №155 (с. 80)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 80, номер 155, Условие

155. a) $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $;

б) $ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} $;

в) $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

г) $ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решение 1. №155 (с. 80)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 80, номер 155, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 80, номер 155, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 4. №155 (с. 80)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 80, номер 155, Решение 4 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 80, номер 155, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 5. №155 (с. 80)

а)

Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{1}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует точкам, абсцисса которых равна $-\frac{1}{2}$.

Эти точки соответствуют углам $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{2\pi}{3}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x$ (абсцисса точки на окружности) больше или равен $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$, включая точки на самой прямой.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{\pi}{4}$ и заканчивается на угле $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{6}$.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, включая точки на самой прямой.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$. Угол $-\frac{3\pi}{4}$ на окружности можно также представить как $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ для удобства записи интервала.

Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается на угле $\frac{5\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 155 расположенного на странице 80 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №155 (с. 80), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.