Номер 155, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 155, страница 80.
№155 (с. 80)
Условие. №155 (с. 80)
скриншот условия

155. a) $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $;
б) $ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} $;
в) $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $;
г) $ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решение 1. №155 (с. 80)


Решение 4. №155 (с. 80)


Решение 5. №155 (с. 80)
а)
Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{1}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует точкам, абсцисса которых равна $-\frac{1}{2}$.
Эти точки соответствуют углам $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{2\pi}{3}$.
Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x$ (абсцисса точки на окружности) больше или равен $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
б)
Решим неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{\pi}{4}$ и заканчивается на угле $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
в)
Решим неравенство $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{6}$.
Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$, мы получаем искомый интервал для одного оборота. С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
г)
Решим неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$. Угол $-\frac{3\pi}{4}$ на окружности можно также представить как $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ для удобства записи интервала.
Общие решения уравнения: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны значения $x$, для которых $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как неравенство строгое, точки на прямой не включаются.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что нужная нам дуга начинается от угла $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается на угле $\frac{5\pi}{4}$. С учетом периодичности, общее решение записывается в виде интервала.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 155 расположенного на странице 80 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №155 (с. 80), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.