Номер 154, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 154, страница 80.
№154 (с. 80)
Условие. №154 (с. 80)
скриншот условия

154. a) $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$;
б) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
в) $\sin x \ge \frac{1}{2}$;
г) $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решение 1. №154 (с. 80)


Решение 3. №154 (с. 80)


Решение 5. №154 (с. 80)
а) Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Для начала решим соответствующее уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Значение синуса угла – это ордината точки на единичной окружности. Нам нужны точки, у которых ордината больше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $ (включая концы дуги), в верхней полуплоскости.
Таким образом, решение на одном обороте ($[0, 2\pi]$) будет $ x \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right] $.
Учитывая периодичность синуса (период $ 2\pi $), общее решение неравенства записывается в виде:
$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.
б) Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{3} $ и $ -\frac{2\pi}{3} $ (или $ \frac{4\pi}{3} $ и $ \frac{5\pi}{3} $).
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых строго меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $ (не включая концы дуги), в нижней полуплоскости.
Таким образом, решение на одном периоде будет $ -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3} $.
Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.
в) Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{1}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых больше или равны $ \frac{1}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $ (включая концы дуги).
Решение на одном обороте: $ x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] $.
Учитывая периодичность, общее решение:
$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.
г) Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{4} $ и $ -\frac{3\pi}{4} $ (или $ \frac{5\pi}{4} $ и $ \frac{7\pi}{4} $).
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых строго меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $ (не включая концы дуги).
Решение на одном периоде: $ -\frac{3\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{4} $.
Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение:
$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 154 расположенного на странице 80 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №154 (с. 80), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.