Номер 154, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 154, страница 80.

Условие.

154. a) $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin x \ge \frac{1}{2}$;

г) $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Для начала решим соответствующее уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Значение синуса угла – это ордината точки на единичной окружности. Нам нужны точки, у которых ордината больше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $ (включая концы дуги), в верхней полуплоскости.
Таким образом, решение на одном обороте ($[0, 2\pi]$) будет $ x \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right] $.
Учитывая периодичность синуса (период $ 2\pi $), общее решение неравенства записывается в виде:
$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{3} $ и $ -\frac{2\pi}{3} $ (или $ \frac{4\pi}{3} $ и $ \frac{5\pi}{3} $).
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых строго меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $ (не включая концы дуги), в нижней полуплоскости.
Таким образом, решение на одном периоде будет $ -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3} $.
Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{1}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых больше или равны $ \frac{1}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $ (включая концы дуги).
Решение на одном обороте: $ x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] $.
Учитывая периодичность, общее решение:
$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корнями этого уравнения являются $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{4} $ и $ -\frac{3\pi}{4} $ (или $ \frac{5\pi}{4} $ и $ \frac{7\pi}{4} $).
Нам нужны точки на единичной окружности, ординаты которых строго меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Эти точки лежат на дуге окружности, заключенной между точками $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $ (не включая концы дуги).
Решение на одном периоде: $ -\frac{3\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{4} $.
Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение:
$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.