Номер 151, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 151, страница 79.

Условие.

151. a) $ \sin t > \frac{1}{2} $, $ t \in [0; \pi] $;

б) $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ t \in [-\pi; 0] $;

в) $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ t \in [0; \pi] $;

г) $ \sin t < -\frac{1}{2} $, $ t \in [-\pi; 0] $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $ \sin t > \frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in [0; \pi] $.
Сначала найдем значения $t$, для которых $ \sin t = \frac{1}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = \frac{1}{2} $ имеет два решения на интервале $[0; 2\pi]$: $ t_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Оба этих значения принадлежат заданному промежутку $[0; \pi]$.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t > \frac{1}{2} $, соответствуют точки, лежащие выше прямой $y = \frac{1}{2}$.
На промежутке $[0; \pi]$ (верхняя полуокружность) это дуга, заключенная между точками $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Так как неравенство строгое ($>$), концы интервала не включаются.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $ (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) $.

б) Решим неравенство $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ t \in [-\pi; 0] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет решения, которые можно представить как $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 0]$. При $k=0$ получаем $ t_1 = -\frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = -\frac{2\pi}{3} $. Оба значения входят в указанный промежуток.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $, соответствуют точки, лежащие на или ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ (нижняя полуокружность) это дуга, заключенная между точками $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы интервала включаются.
Следовательно, решение неравенства есть отрезок $ [-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}] $.
Ответ: $ t \in [-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}] $.

в) Решим неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ t \in [0; \pi] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет два решения на интервале $[0; \pi]$: $ t_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $, соответствуют точки, лежащие выше прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
На промежутке $[0; \pi]$ это дуга между точками $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Поскольку неравенство строгое ($>$), концы интервала не включаются.
Решением является интервал $ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.

г) Решим неравенство $ \sin t < -\frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in [-\pi; 0] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = -\frac{1}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = -\frac{1}{2} $ имеет решения $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из промежутка $[-\pi; 0]$. При $k=0$ получаем $ t_1 = -\frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = -\frac{5\pi}{6} $. Оба значения входят в указанный промежуток.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t < -\frac{1}{2} $, соответствуют точки, лежащие ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ это дуга между точками $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.
Так как неравенство строгое (<), концы интервала не включаются.
Решением является интервал $ (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) $.
Ответ: $ t \in (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) $.