Номер 145, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 145, страница 75.

Условие.

145.—

a) $2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$

б) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

в) $\sqrt{3} \operatorname{tg} \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 3;$

г) $\sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Случай со знаком "+":
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

2. Случай со знаком "-":
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = 2\pi k$
$x = 4\pi k$.

Ответ: $x = 4\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$

$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$

Рассмотрим два случая: для четных и нечетных значений $k$.

1. Если $k$ — четное число (пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{2n+1} \frac{\pi}{4} + \pi(2n)$
$3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = 2\pi n$
$x = \frac{2\pi n}{3}$.

2. Если $k$ — нечетное число (пусть $k = 2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{(2n+1)+1} \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1)$
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{2n+2} \frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi$
$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi$
$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n$
$3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

---

в) $\sqrt{3} \tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 3$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\tg(t) = a$ записывается как $t = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арктангенса: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$\frac{x}{3} = \pi k$
$x = 3\pi k$.

Ответ: $x = 3\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

---

г) $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -1$

Это частный случай решения уравнения с синусом. Равенство $\sin(t) = -1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Приравниваем аргумент к решению:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Выражаем $x$:

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Умножаем обе части на 2:

$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)$
$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.