Номер 146, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 146, страница 75.

Условие.

146.—

a) $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -1; $

б) $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

в) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1; $

г) $ 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sqrt{2}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение: $cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения $cos(t) = -1$, общее решение которого $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $t = \frac{\pi}{6} - 2x$.
Приравняем аргумент косинуса к общему решению:
$\frac{\pi}{6} - 2x = \pi + 2\pi k$
Теперь выразим $x$:
$-2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части на -2:
$x = -\frac{5\pi}{12} - \pi k$
Поскольку $k$ является любым целым числом, то $-k$ также является любым целым числом, поэтому для удобства можно заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение: $2 sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \sqrt{3}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $sin(t) = a$ можно представить в виде совокупности двух серий решений: $t = \arcsin(a) + 2\pi k$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Рассмотрим каждую серию решений отдельно:
1) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = 2\pi k$
$x = -8\pi k$
2) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi k$
Ответ: $x = -8\pi k$; $x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi k$, где $k \in Z$.

в) Дано уравнение: $tg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -1$.
Общее решение уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ и $a = -1$, следовательно $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Приравняем аргумент тангенса к общему решению:
$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
Выразим $x$:
$-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на -2:
$x = \pi - 2\pi k$
Поскольку $k$ является любым целым числом, мы можем заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
$x = \pi + 2\pi n$
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

г) Дано уравнение: $2 cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \sqrt{2}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{4} - 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Получаем уравнение: $\frac{\pi}{4} - 3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
Разобьем его на два случая:
1) Используем знак "+":
$\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = 2\pi k$
$x = -\frac{2\pi k}{3}$
2) Используем знак "-":
$\frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}$
Для единообразия записи можно заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
Первая серия решений: $x = \frac{2\pi n}{3}$.
Вторая серия решений: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.