Номер 142, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 142, страница 74.

Условие.

142. a) $\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Б) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение $sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$, а $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos(\frac{x}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$, а $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = \pm 3 \cdot \frac{2\pi}{3} + 3 \cdot 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sin(\frac{x}{4}) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{4}$, а $a = \frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в общую формулу:

$\frac{x}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \cdot ((-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{4\pi}{6} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим дробь $\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$:

$x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos(4x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение записывается по формуле $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставим значение в формулу:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.