Номер 136, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 136, страница 74.

Условие.

136.—

а) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos x = -\frac{1}{2} $;

в) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

г) $ \cos x = -1 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнений вида $cos x = a$ находится по формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим значение арккосинуса: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$.
Используем общую формулу для решения: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$.
Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применяем общую формулу для косинуса: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем арккосинус, используя свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Записываем общее решение:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $cos x = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение можно найти, определив на единичной окружности точки, у которых абсцисса (косинус) равна -1. Такая точка только одна, и она соответствует углу $\pi$.
Учитывая периодичность функции косинуса, которая равна $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Этот же результат можно получить и по общей формуле: $x = \pm arccos(-1) + 2\pi k = \pm \pi + 2\pi k$, что эквивалентно записанному выше решению.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.