Номер 131, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 131, страница 69.

Условие.

131.— Вычислите:

а) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \text{arcctg} (-\sqrt{3});$

в) $\text{arcctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1;$

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2}\arccos \frac{1}{2} + 3 \text{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $2 \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$ найдем значения каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций.
Значение $\arcsin x$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значение $\operatorname{arctg} x$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Таким образом, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Значение $\arccos x$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Таким образом, $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в исходное выражение: $2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$ найдем значения каждого члена по отдельности.
$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, получаем: $\pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$. Используя свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$, получаем: $\pi - \operatorname{arcctg}\sqrt{3} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденные значения в выражение: $3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 3\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{8\pi}{3}$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1$ найдем значения каждого слагаемого.
$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, получаем: $\pi - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Суммируем полученные значения: $-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2} + 3\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ найдем значения каждого члена.
$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$.
$\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Подставим найденные значения в выражение: $-\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$.