Номер 126, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 126, страница 68.

Условие.

Найдите значения выражений (126–128).

126. a) $\arcsin 0 + \arccos 0;$

б) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2};$

в) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $\arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\arcsin 0 + \arccos 0$

Для решения этого выражения можно воспользоваться основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.

В данном случае $x = 0$, поэтому:

$\arcsin 0 + \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$

Также можно найти значение каждого слагаемого отдельно:

$\arcsin 0 = 0$, так как $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.

Суммируя результаты, получаем: $0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{1}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого по отдельности.

По определению арксинуса, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арккосинуса, $\arccos\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

Ответ: $\frac{\pi}{12}$

в) $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся тождеством $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$

Проверим, вычислив каждое слагаемое:

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$.

Суммируя результаты: $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

г) $\arcsin(-1) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого.

По определению арксинуса, $\arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{2}$. Итак, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Итак, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Сложим полученные значения:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$