Номер 132, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 132, страница 69.

Условие.

132.— Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

a) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

б) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1; 1]$.

Для исследования функции на монотонность воспользуемся производной. Найдем производную функции $f(x) = \arcsin x$:

$f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Для любого значения $x$ из этого интервала выполняется неравенство $x^2 < 1$, что означает $1 - x^2 > 0$. Так как квадратный корень из положительного числа всегда положителен, то знаменатель $\sqrt{1 - x^2} > 0$.

Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ положительна ($f'(x) > 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.

Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция строго возрастает на этом интервале. Поскольку функция $f(x) = \arcsin x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $f'(x) > 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго возрастающей на всем отрезке $[-1, 1]$.

По определению строго возрастающей функции, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1, 1]$.

б)

Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arccos x_1 > \arccos x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1; 1]$.

Для исследования функции на монотонность также воспользуемся производной. Найдем производную функции $g(x) = \arccos x$:

$g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Как и в пункте а), для любого $x \in (-1, 1)$ знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ является положительным числом.

Так как перед дробью стоит знак минус, производная $g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ отрицательна ($g'(x) < 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.

Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция строго убывает на этом интервале. Поскольку функция $g(x) = \arccos x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $g'(x) < 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго убывающей на всем отрезке $[-1, 1]$.

По определению строго убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $g(x_1) > g(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arccos x_1 > \arccos x_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, так как функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1, 1]$.