Номер 132, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 132, страница 69.
№132 (с. 69)
Условие. №132 (с. 69)
скриншот условия

132.— Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:
a) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;
б) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.
Решение 1. №132 (с. 69)

Решение 3. №132 (с. 69)

Решение 4. №132 (с. 69)

Решение 5. №132 (с. 69)
а)
Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1; 1]$.
Для исследования функции на монотонность воспользуемся производной. Найдем производную функции $f(x) = \arcsin x$:
$f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Для любого значения $x$ из этого интервала выполняется неравенство $x^2 < 1$, что означает $1 - x^2 > 0$. Так как квадратный корень из положительного числа всегда положителен, то знаменатель $\sqrt{1 - x^2} > 0$.
Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ положительна ($f'(x) > 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.
Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция строго возрастает на этом интервале. Поскольку функция $f(x) = \arcsin x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $f'(x) > 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго возрастающей на всем отрезке $[-1, 1]$.
По определению строго возрастающей функции, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, так как функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на своей области определения $[-1, 1]$.
б)
Чтобы доказать, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arccos x_1 > \arccos x_2$, нам нужно показать, что функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1; 1]$.
Для исследования функции на монотонность также воспользуемся производной. Найдем производную функции $g(x) = \arccos x$:
$g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Производная определена на интервале $(-1, 1)$. Как и в пункте а), для любого $x \in (-1, 1)$ знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ является положительным числом.
Так как перед дробью стоит знак минус, производная $g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ отрицательна ($g'(x) < 0$) для всех $x \in (-1, 1)$.
Согласно теореме о монотонности функции, если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция строго убывает на этом интервале. Поскольку функция $g(x) = \arccos x$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$ и ее производная $g'(x) < 0$ на интервале $(-1, 1)$, функция является строго убывающей на всем отрезке $[-1, 1]$.
По определению строго убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $g(x_1) > g(x_2)$. Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ из $x_1 < x_2$ следует $\arccos x_1 > \arccos x_2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, так как функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на своей области определения $[-1, 1]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 132 расположенного на странице 69 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №132 (с. 69), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.