Номер 139, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 139, страница 74.

Условие.

139. a) $\sqrt{2} \sin x + 1 = 0;$

б) $2 \sin x + \sqrt{3} = 0;$

в) $2 \sin x - 1 = 0;$

г) $2 \sin x + \sqrt{2} = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим уравнение $ \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 $.

Сначала выразим $ \sin x $. Для этого перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$ \sqrt{2} \sin x = -1 $

Теперь разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:

$ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{2} $:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, записывается по формуле:

$ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ ( $ k $ — любое целое число).

В нашем случае $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Найдем значение арксинуса, используя свойство $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставим найденное значение в общую формулу решения:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Можно упростить запись, внеся минус под степень:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим уравнение $ 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем $ \sqrt{3} $ в правую часть уравнения:

$ 2 \sin x = -\sqrt{3} $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдем значение арксинуса:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Подставим это значение в формулу:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Упростим выражение:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим уравнение $ 2 \sin x - 1 = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем -1 в правую часть:

$ 2 \sin x = 1 $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Используем общую формулу решения $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{1}{2} $. Значение арксинуса:

$ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим уравнение $ 2 \sin x + \sqrt{2} = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем $ \sqrt{2} $ в правую часть:

$ 2 \sin x = -\sqrt{2} $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение идентично тому, что мы решали в пункте а). Повторим решение.

Используем общую формулу $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение арксинуса:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Упрощаем запись:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.