Номер 141, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 141, страница 74.

Условие.

141. a) $ \text{tg } x + \sqrt{3} = 0; $

б) $ \text{ctg } x + 1 = 0; $

в) $ \sqrt{3} \text{ tg } x - 1 = 0; $

г) $ \sqrt{3} \text{ ctg } x - 1 = 0. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $tg x + \sqrt{3} = 0$.

Чтобы решить это уравнение, сначала выразим $tg x$. Для этого перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$tg x = -\sqrt{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg x = a$ находится по формуле: $x = arctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = -\sqrt{3}$. Найдем значение арктангенса:

$arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Теперь подставим это значение в общую формулу решения:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $ctg x + 1 = 0$.

Выразим $ctg x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$ctg x = -1$

Общее решение для уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле: $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -1$. Найдем значение арккотангенса. Главное значение $arcctg(a)$ находится в интервале $(0, \pi)$.

$arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$

Подставим это значение в формулу для получения общего решения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{3} tg x - 1 = 0$.

Сначала изолируем $tg x$. Перенесем -1 в правую часть и разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} tg x = 1$

$tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Используем общую формулу для решения уравнения $tg x = a$: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем арктангенс этого значения:

$arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3} ctg x - 1 = 0$.

Выразим $ctg x$ из уравнения. Перенесем -1 вправо и разделим на $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} ctg x = 1$

$ctg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для уравнения с котангенсом $ctg x = a$ имеет вид: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение арккотангенса:

$arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$

Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.