Номер 147, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 147, страница 75.
№147 (с. 75)
Условие. №147 (с. 75)
скриншот условия

147.—
а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;
б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $;
в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $;
г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решение 1. №147 (с. 75)


Решение 3. №147 (с. 75)


Решение 4. №147 (с. 75)

Решение 5. №147 (с. 75)
а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:
$ \sin(3x - x) = \sin 2x $
Получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
$ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Решение этого уравнения имеет вид:
$ 2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $
$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in Z $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $
Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $
б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Вынесем минус за скобки в левой части уравнения:
$ -(\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) = 1 $
Применим формулу косинуса двойного угла, где $ \alpha = \frac{x}{4} $:
$ -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = 1 $
$ -\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 1 $
$ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -1 $
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$ \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \quad n \in Z $
Умножим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $
Ответ: $ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $
в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
В данном случае $ \alpha = 2x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:
$ \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x $
Подставим это в исходное уравнение:
$ \frac{1}{2} \sin 4x = -\frac{1}{4} $
Умножим обе части на 2:
$ \sin 4x = -\frac{1}{2} $
Решение этого уравнения имеет вид:
$ 4x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $
$ 4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, \quad n \in Z $
$ 4x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $
Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $
Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $
г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Снова воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = \frac{x}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:
$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) $
Получаем уравнение:
$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решение этого уравнения имеет вид:
$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $
$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $
Выразим $ \frac{x}{3} $:
$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $
Умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $
Ответ: $ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 147 расположенного на странице 75 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №147 (с. 75), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.