Номер 147, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 147, страница 75.

Условие.

147.—

а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $;

в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $;

г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \sin(3x - x) = \sin 2x $

Получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ 2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in Z $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $

б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Вынесем минус за скобки в левой части уравнения:

$ -(\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) = 1 $

Применим формулу косинуса двойного угла, где $ \alpha = \frac{x}{4} $:

$ -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = 1 $

$ -\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 1 $

$ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \quad n \in Z $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $

в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.

В данном случае $ \alpha = 2x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x $

Подставим это в исходное уравнение:

$ \frac{1}{2} \sin 4x = -\frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin 4x = -\frac{1}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ 4x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 4x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $

Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $

г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Снова воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = \frac{x}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) $

Получаем уравнение:

$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Выразим $ \frac{x}{3} $:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $