Страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

145.—

a) $2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$

б) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

в) $\sqrt{3} \operatorname{tg} \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 3;$

г) $\sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0.$

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Случай со знаком "+":
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

2. Случай со знаком "-":
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = 2\pi k$
$x = 4\pi k$.

Ответ: $x = 4\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса: $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$

$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$

Рассмотрим два случая: для четных и нечетных значений $k$.

1. Если $k$ — четное число (пусть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{2n+1} \frac{\pi}{4} + \pi(2n)$
$3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = 2\pi n$
$x = \frac{2\pi n}{3}$.

2. Если $k$ — нечетное число (пусть $k = 2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{(2n+1)+1} \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1)$
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{2n+2} \frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi$
$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi$
$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n$
$3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3} \tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 3$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\tg(t) = a$ записывается как $t = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арктангенса: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$\frac{x}{3} = \pi k$
$x = 3\pi k$.

Ответ: $x = 3\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -1$

Это частный случай решения уравнения с синусом. Равенство $\sin(t) = -1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Приравниваем аргумент к решению:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Выражаем $x$:

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Умножаем обе части на 2:

$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right)$
$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

146.—

a) $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -1; $

б) $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

в) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1; $

г) $ 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sqrt{2}. $

а) Дано уравнение: $cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения $cos(t) = -1$, общее решение которого $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $t = \frac{\pi}{6} - 2x$.
Приравняем аргумент косинуса к общему решению:
$\frac{\pi}{6} - 2x = \pi + 2\pi k$
Теперь выразим $x$:
$-2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части на -2:
$x = -\frac{5\pi}{12} - \pi k$
Поскольку $k$ является любым целым числом, то $-k$ также является любым целым числом, поэтому для удобства можно заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение: $2 sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \sqrt{3}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $sin(t) = a$ можно представить в виде совокупности двух серий решений: $t = \arcsin(a) + 2\pi k$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Рассмотрим каждую серию решений отдельно:
1) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = 2\pi k$
$x = -8\pi k$
2) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi k$
Ответ: $x = -8\pi k$; $x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi k$, где $k \in Z$.

в) Дано уравнение: $tg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -1$.
Общее решение уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ и $a = -1$, следовательно $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Приравняем аргумент тангенса к общему решению:
$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
Выразим $x$:
$-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на -2:
$x = \pi - 2\pi k$
Поскольку $k$ является любым целым числом, мы можем заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
$x = \pi + 2\pi n$
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

г) Дано уравнение: $2 cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \sqrt{2}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = \frac{\pi}{4} - 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Получаем уравнение: $\frac{\pi}{4} - 3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
Разобьем его на два случая:
1) Используем знак "+":
$\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = 2\pi k$
$x = -\frac{2\pi k}{3}$
2) Используем знак "-":
$\frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}$
Для единообразия записи можно заменить $-k$ на $n$, где $n \in Z$.
Первая серия решений: $x = \frac{2\pi n}{3}$.
Вторая серия решений: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

147.—

а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $;

в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $;

г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

а) $ \sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \sin(3x - x) = \sin 2x $

Получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ 2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in Z $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $

б) $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Вынесем минус за скобки в левой части уравнения:

$ -(\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) = 1 $

Применим формулу косинуса двойного угла, где $ \alpha = \frac{x}{4} $:

$ -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = 1 $

$ -\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 1 $

$ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \quad n \in Z $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = 2\pi + 4\pi n, \quad n \in Z $

в) $ \sin 2x \cos 2x = -\frac{1}{4} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.

В данном случае $ \alpha = 2x $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x $

Подставим это в исходное уравнение:

$ \frac{1}{2} \sin 4x = -\frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin 4x = -\frac{1}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ 4x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ 4x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $

Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $

г) $ \sin \frac{x}{3} \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{x}{3} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Снова воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В данном случае $ \alpha = \frac{x}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{5} $. Левая часть уравнения преобразуется к виду:

$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) $

Получаем уравнение:

$ \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решение этого уравнения имеет вид:

$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in Z $

$ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Выразим $ \frac{x}{3} $:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{5} + (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in Z $

148. Для каждой из функций

$y = 2 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right)$ и $y = \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$

найдите координаты общих точек ее графика с прямой:

a) $x = 4,5\pi$;

б) $y = -1$;

в) $y = 1$;

г) $y = 0.$

Для функции $y = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

а) Найдем общую точку графика с прямой $x = 4,5\pi$. Для этого подставим значение $x$ в уравнение функции:

$y = 2 \cos\left(2 \cdot 4,5\pi - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(9\pi - \frac{\pi}{3}\right)$

Используя формулы приведения, получаем: $ \cos\left(9\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Тогда $y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

Координаты общей точки: $(4,5\pi; -1)$.

Ответ: $(4,5\pi; -1)$.

б) Найдем общие точки с прямой $y = -1$.

Решим уравнение $-1 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, что равносильно $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Получаем два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi k; -1)$, $(-\frac{\pi}{6} + \pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Найдем общие точки с прямой $y = 1$.

Решим уравнение $1 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, то есть $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Получаем два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \pi k; 1)$, $(\pi k; 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Найдем общие точки с прямой $y = 0$.

Решим уравнение $0 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, то есть $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k = \frac{5\pi}{6} + \pi k$.

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для функции $y = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

а) Найдем общую точку графика с прямой $x = 4,5\pi$.

$y = \sin\left(\frac{4,5\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{10\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$.

Так как $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$, то $y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Координаты общей точки: $(4,5\pi; 1)$.

Ответ: $(4,5\pi; 1)$.

б) Найдем общие точки с прямой $y = -1$.

Решим уравнение $-1 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Это частный случай, решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k$.

Ответ: $(-\frac{3\pi}{2} + 4\pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Найдем общие точки с прямой $y = 1$.

Решим уравнение $1 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = \frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + 4\pi k; 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Найдем общие точки с прямой $y = 0$.

Решим уравнение $0 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

149. Решите уравнения $cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x \right) = \frac{1}{2}$, $sin \left(2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1$

и найдите для каждого из них:

a) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Решение для уравнения $\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$ $\frac{\pi}{3} - 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ Рассмотрим два случая:

1) $\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = 2\pi n$
$x = -\pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \pi k$, $k \in Z$.

2) $\frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{3} - \pi n$. Так как $n$ - любое целое число, то и $-n$ - любое целое, поэтому можно записать $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in Z$.

Итак, общие решения уравнения: $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

а) наименьший положительный корень

Рассмотрим серию корней $x = \pi k$. При $k=1$ получаем $x = \pi$. При $k \le 0$ корни неположительные. Рассмотрим серию корней $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. При $k \ge 1$ корни будут больше, а при $k < 0$ корни будут отрицательными. Сравнивая положительные корни $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$, находим наименьший: $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\pi$. $\pi \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x=\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}$. $\frac{4\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Объединяя найденные корни, получаем: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

в) наибольший отрицательный корень

Для серии $x = \pi k$: при $k=-1$, $x=-\pi$.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
Сравниваем $-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$

Для серии $x = \pi k$:
При $k=0$, $x=0$. $0 \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=-\pi$, что не входит в интервал.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$. $\frac{\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
При $k=-1$, $x=\frac{\pi}{3}-\pi = -\frac{2\pi}{3}$. $-\frac{2\pi}{3} \in (-\pi; \frac{\pi}{2})$.
Объединяя найденные корни, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

Решение для уравнения $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
$2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$2x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$, где $k \in Z$.

а) наименьший положительный корень

Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наименьший положительный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$ (положительный).
При $k=2$, $x = -\frac{3\pi}{8} + 2\pi = \frac{13\pi}{8}$ (положительный, но больше предыдущего).
Наименьший положительный корень - это $\frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Решаем неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$.
$-\frac{4\pi}{8} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi k \le \frac{12\pi}{8}$.
Разделим на $\pi$: $-\frac{4}{8} \le -\frac{3}{8} + k \le \frac{12}{8}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-\frac{4}{8} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{12}{8} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$.
$-0.125 \le k \le 1.875$.
Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=0, 1$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень

Подбираем целые значения $k$, чтобы найти наибольший отрицательный корень:
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$ (отрицательный).
При $k=-1$, $x = -\frac{3\pi}{8} - \pi = -\frac{11\pi}{8}$ (отрицательный, но меньше предыдущего).
Наибольший отрицательный корень - это $-\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{\pi}{2})$

Решаем неравенство: $-\pi < -\frac{3\pi}{8} + \pi k < \frac{\pi}{2}$.
Разделим на $\pi$: $-1 < -\frac{3}{8} + k < \frac{1}{2}$.
Прибавим $\frac{3}{8}$: $-1 + \frac{3}{8} < k < \frac{1}{2} + \frac{3}{8}$.
$-\frac{5}{8} < k < \frac{7}{8}$.
$-0.625 < k < 0.875$.
Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне: $k=0$.
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{8}$.

150. Докажите, что все решения уравнения $ctg\ t = a$ находятся по формуле $t = arcctg\ a + \pi n$, $n \in Z$.

Разделим доказательство на две части. Сначала мы покажем, что все числа, заданные формулой, действительно являются решениями уравнения. Затем мы покажем, что других решений не существует.

1. Доказательство того, что числа вида $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$ являются решениями.
По определению арккотангенса, $\operatorname{arcctg} a$ — это угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого выполняется $ctg \alpha = a$.
Пусть $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подставим это выражение в левую часть уравнения $ctg t = a$:
$ctg t = ctg(\operatorname{arcctg} a + \pi n)$.
Котангенс — это периодическая функция с наименьшим положительным периодом $\pi$. Это означает, что для любого $x$ из области определения и любого целого $n$ справедливо равенство $ctg(x + \pi n) = ctg(x)$.
Используя это свойство, получаем:
$ctg(\operatorname{arcctg} a + \pi n) = ctg(\operatorname{arcctg} a)$.
По определению арккотангенса, $ctg(\operatorname{arcctg} a) = a$.
Следовательно, $ctg t = a$. Это доказывает, что любое число вида $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$ является решением исходного уравнения.

2. Доказательство того, что других решений нет.
Пусть $t_1$ — это произвольное решение уравнения $ctg t = a$, то есть $ctg t_1 = a$.
Обозначим $t_0 = \operatorname{arcctg} a$. Мы знаем, что $t_0$ также является решением, так как $ctg t_0 = ctg(\operatorname{arcctg} a) = a$.
Таким образом, мы имеем равенство:
$ctg t_1 = ctg t_0$.
Два числа имеют одинаковые котангенсы тогда и только тогда, когда они отличаются на целое число периодов $\pi$. То есть:
$t_1 = t_0 + \pi n$ для некоторого целого числа $n \in \mathbb{Z}$.
(Более формально: из $ctg t_1 = ctg t_0$ следует $ctg t_1 - ctg t_0 = 0$, или $\frac{\sin(t_0 - t_1)}{\sin t_1 \sin t_0} = 0$. Это равенство выполняется, когда числитель $\sin(t_0 - t_1) = 0$, что означает $t_0 - t_1 = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $t_1 = t_0 - \pi k = t_0 + \pi n$, где $n=-k \in \mathbb{Z}$.)
Подставив $t_0 = \operatorname{arcctg} a$ в полученное выражение для $t_1$, получаем:
$t_1 = \operatorname{arcctg} a + \pi n$.
Поскольку $t_1$ — это любое решение уравнения, мы доказали, что все решения должны иметь именно такой вид.

Таким образом, мы установили, что совокупность чисел $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, является полным множеством решений уравнения $ctg t = a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что все решения уравнения $ctg t = a$ находятся по формуле $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.