Страница 81 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

163.— Найдите решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

a) $sin x \ge -\frac{1}{2}, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}\right);$

б) $cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right];$

в) $tg x \ge -1, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}\right];$

г) $sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [0; \pi].$

а)

Требуется найти решения неравенства $ \sin x > -\frac{1}{2} $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.

Сначала найдем общее решение неравенства $ \sin x > -\frac{1}{2} $. Для этого решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Корнями этого уравнения на единичной окружности являются $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{7\pi}{6} $.

Неравенству $ \sin x > -\frac{1}{2} $ соответствуют значения $x$, для которых ордината на единичной окружности больше $ -\frac{1}{2} $. Это дуга, заключенная между точками $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $ при движении против часовой стрелки. Таким образом, общее решение неравенства имеет вид:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.

При $ k = 0 $ получаем интервал $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $.

Сравним этот интервал с заданным промежутком. Левая граница: $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} $. Правая граница совпадает, но в обоих случаях она не включена. Таким образом, пересечением множеств $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $ и $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $ является интервал $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $.

Другие значения $k$ дают интервалы, не пересекающиеся с $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $.

б)

Требуется найти решения неравенства $ \cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $. Найдем, какому промежутку принадлежит $t$. Если $ -\frac{\pi}{2} \le x \le 0 $, то, разделив на 2, получим $ -\frac{\pi}{4} \le \frac{x}{2} \le 0 $, то есть $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Теперь решаем неравенство $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ для $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Общее решение неравенства $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ находится из уравнения $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $, корнями которого являются $ t = \pm\frac{\pi}{6} $. Неравенству удовлетворяют значения $t$ из интервалов $ (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

При $ k=0 $ получаем интервал $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) $.

Найдем пересечение этого интервала с промежутком для $t$: $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cap [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Так как $ -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6} $, то пересечение будет $ (-\frac{\pi}{6}; 0] $. Точка $t=0$ включается, так как $ \cos 0 = 1 > \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ 0 \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $. Точка $t=-\frac{\pi}{6}$ не включается, так как неравенство строгое.

Итак, $ -\frac{\pi}{6} < t \le 0 $.

Вернемся к переменной $x$. Так как $ t = \frac{x}{2} $, то $ -\frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} \le 0 $. Умножим все части на 2: $ -\frac{\pi}{3} < x \le 0 $.

Этот промежуток полностью содержится в исходном промежутке $ [-\frac{\pi}{2}; 0] $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{3}; 0] $.

в)

Требуется найти решения неравенства $ \operatorname{tg} x \ge -1 $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}] $.

Область определения тангенса $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. Функция $ \operatorname{tg} x $ возрастает на каждом интервале $ (-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) $.

Сначала решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -1 $. Основное решение $ x = -\frac{\pi}{4} $.

Учитывая периодичность и область определения, общее решение неравенства $ \operatorname{tg} x \ge -1 $ имеет вид:

$ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}] $.

При $ k = 0 $ получаем промежуток $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) $.

Найдем пересечение $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cap (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}] $.

Левая граница пересечения $ \max(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4} $. Точка $x=-\frac{\pi}{4}$ входит в оба множества, поэтому она включается.

Правая граница пересечения $ \min(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} $. Точка $x=\frac{\pi}{4}$ входит в оба множества, поэтому она включается.

Таким образом, решением является отрезок $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] $.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] $.

г)

Требуется найти решения неравенства $ \sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ x \in [0; \pi] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Найдем, какому промежутку принадлежит $t$. Если $ 0 \le x \le \pi $, то, умножив на 2, получим $ 0 \le 2x \le 2\pi $, то есть $ t \in [0; 2\pi] $.

Теперь решаем неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ для $ t \in [0; 2\pi] $.

Сначала решим уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На промежутке $ [0; 2\pi] $ корнями являются $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = \frac{3\pi}{4} $.

Неравенству $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ на единичной окружности соответствуют дуги, лежащие ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

На промежутке $ t \in [0; 2\pi] $ это будут два интервала:

1. От $ t=0 $ до $ t=\frac{\pi}{4} $. В точке $t=0$ имеем $ \sin 0 = 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} $, поэтому $0$ включается. В точке $ t=\frac{\pi}{4} $ неравенство становится равенством, поэтому она не включается. Получаем $ t \in [0; \frac{\pi}{4}) $.

2. От $ t=\frac{3\pi}{4} $ до $ t=2\pi $. В точке $ t=\frac{3\pi}{4} $ неравенство становится равенством, поэтому она не включается. В точке $ t=2\pi $ имеем $ \sin 2\pi = 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} $, поэтому $2\pi$ включается. Получаем $ t \in (\frac{3\pi}{4}; 2\pi] $.

Итак, решение для $t$: $ t \in [0; \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}; 2\pi] $.

Вернемся к переменной $x$, используя $ t = 2x $.

Из $ 0 \le t < \frac{\pi}{4} $ следует $ 0 \le 2x < \frac{\pi}{4} $, что дает $ 0 \le x < \frac{\pi}{8} $.

Из $ \frac{3\pi}{4} < t \le 2\pi $ следует $ \frac{3\pi}{4} < 2x \le 2\pi $, что дает $ \frac{3\pi}{8} < x \le \pi $.

Объединяя эти два промежутка, получаем решение для $x$.

Ответ: $ x \in [0; \frac{\pi}{8}) \cup (\frac{3\pi}{8}; \pi] $.