Страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

151. a) $ \sin t > \frac{1}{2} $, $ t \in [0; \pi] $;

б) $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ t \in [-\pi; 0] $;

в) $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ t \in [0; \pi] $;

г) $ \sin t < -\frac{1}{2} $, $ t \in [-\pi; 0] $.

а) Решим неравенство $ \sin t > \frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in [0; \pi] $.
Сначала найдем значения $t$, для которых $ \sin t = \frac{1}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = \frac{1}{2} $ имеет два решения на интервале $[0; 2\pi]$: $ t_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Оба этих значения принадлежат заданному промежутку $[0; \pi]$.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t > \frac{1}{2} $, соответствуют точки, лежащие выше прямой $y = \frac{1}{2}$.
На промежутке $[0; \pi]$ (верхняя полуокружность) это дуга, заключенная между точками $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Так как неравенство строгое ($>$), концы интервала не включаются.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $ (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) $.

б) Решим неравенство $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ t \in [-\pi; 0] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет решения, которые можно представить как $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 0]$. При $k=0$ получаем $ t_1 = -\frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = -\frac{2\pi}{3} $. Оба значения входят в указанный промежуток.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $, соответствуют точки, лежащие на или ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ (нижняя полуокружность) это дуга, заключенная между точками $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы интервала включаются.
Следовательно, решение неравенства есть отрезок $ [-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}] $.
Ответ: $ t \in [-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}] $.

в) Решим неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ t \in [0; \pi] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет два решения на интервале $[0; \pi]$: $ t_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t > \frac{\sqrt{2}}{2} $, соответствуют точки, лежащие выше прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
На промежутке $[0; \pi]$ это дуга между точками $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $.
Поскольку неравенство строгое ($>$), концы интервала не включаются.
Решением является интервал $ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.

г) Решим неравенство $ \sin t < -\frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in [-\pi; 0] $.
Найдем значения $t$, для которых $ \sin t = -\frac{1}{2} $ на заданном промежутке.
Уравнение $ \sin t = -\frac{1}{2} $ имеет решения $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из промежутка $[-\pi; 0]$. При $k=0$ получаем $ t_1 = -\frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = -\frac{5\pi}{6} $. Оба значения входят в указанный промежуток.
На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t < -\frac{1}{2} $, соответствуют точки, лежащие ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ это дуга между точками $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.
Так как неравенство строгое (<), концы интервала не включаются.
Решением является интервал $ (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) $.
Ответ: $ t \in (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) $.

152. a) $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $\cos t < -\frac{1}{2}$, $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) $\cos t > \frac{1}{2}$, $t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

г) $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

а) Требуется решить неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ при условии, что $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Для решения воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса (координата по оси x) точки на окружности, соответствующей этому углу. Неравенство $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ означает, что мы ищем такие точки на единичной окружности, абсциссы которых больше, чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем углы, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$.
На единичной окружности точки, для которых $\cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}$, лежат на дуге между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, общее решение неравенства имеет вид $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь нужно выбрать те решения, которые попадают в заданный отрезок $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$. Этот интервал полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.При других целых значениях $k$ интервалы не пересекаются с заданным отрезком.
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.

б) Требуется решить неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$ при условии, что $t \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
На единичной окружности мы ищем точки, абсциссы которых меньше $-\frac{1}{2}$.
Найдем углы, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$. Это углы $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$ (или $t = -\frac{2\pi}{3}$).
Точки, для которых $\cos t < -\frac{1}{2}$, лежат на дуге окружности между углами $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение неравенства: $t \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.Сравним границы: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$. Очевидно, $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$.Также, $\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$. Очевидно, $\frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.Таким образом, интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$ полностью входит в заданный отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

в) Требуется решить неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$ при условии, что $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
На единичной окружности ищем точки, абсциссы которых больше $\frac{1}{2}$.
Сначала решим уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$. Корни уравнения: $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$.
Точки, удовлетворяющие неравенству $\cos t > \frac{1}{2}$, находятся на дуге окружности между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. Общее решение: $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из заданного отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, этот интервал полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

г) Требуется решить неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при условии, что $t \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
На единичной окружности ищем точки, абсциссы которых меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решим уравнение $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни этого уравнения: $t = \frac{5\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$.
Точки, для которых $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, лежат на дуге окружности между углами $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$. Общее решение: $t \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем решения из отрезка $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.При $k=0$ получаем интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.Сравним границы: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$, поэтому $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6}$.$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, поэтому $\frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$.Интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ полностью входит в заданный отрезок $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.

153. a) $ \mathrm{tg} \, t > -\sqrt{3}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

б) $ \mathrm{tg} \, t < \frac{1}{\sqrt{3}}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

в) $ \mathrm{tg} \, t > \frac{\sqrt{3}}{3}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

г) $ \mathrm{tg} \, t < -1, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right). $

а) Решим неравенство $tg t > -\sqrt{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сначала найдем значение $t$, для которого $tg t = -\sqrt{3}$. Это значение $t_0 = arctg(-\sqrt{3})$.

Так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и функция тангенса нечетная, то $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Функция $y = tg t$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поэтому неравенство $tg t > -\sqrt{3}$ равносильно неравенству $t > arctg(-\sqrt{3})$, то есть $t > -\frac{\pi}{3}$.

Учитывая заданный интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$.

б) Решим неравенство $tg t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение $t$, для которого $tg t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это $t_0 = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку функция $y = tg t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, неравенство $tg t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ равносильно неравенству $t < arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})$, то есть $t < \frac{\pi}{6}$.

С учетом области определения $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$.

в) Решим неравенство $tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение $t$, для которого $tg t = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это $t_0 = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = tg t$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, неравенство $tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$ равносильно неравенству $t > arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$, то есть $t > \frac{\pi}{6}$.

Учитывая заданный интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем решение: $\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$.

г) Решим неравенство $tg t < -1$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение $t$, для которого $tg t = -1$. Это $t_0 = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Функция $y = tg t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому неравенство $tg t < -1$ равносильно неравенству $t < arctg(-1)$, то есть $t < -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области определения $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4})$.