Страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

136.—

а) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos x = -\frac{1}{2} $;

в) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

г) $ \cos x = -1 $.

a) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнений вида $cos x = a$ находится по формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим значение арккосинуса: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$.
Используем общую формулу для решения: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$.
Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применяем общую формулу для косинуса: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем арккосинус, используя свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Записываем общее решение:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $cos x = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение можно найти, определив на единичной окружности точки, у которых абсцисса (косинус) равна -1. Такая точка только одна, и она соответствует углу $\pi$.
Учитывая периодичность функции косинуса, которая равна $2\pi$, общее решение уравнения имеет вид:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Этот же результат можно получить и по общей формуле: $x = \pm arccos(-1) + 2\pi k = \pm \pi + 2\pi k$, что эквивалентно записанному выше решению.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

137. a) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0;$

б) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0;$

в) $2 \cos x + \sqrt{2} = 0;$

г) $2 \cos x - 1 = 0.$

а) Решим уравнение $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$.

Сначала выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:

$2 \cos x = -\sqrt{3}$

Теперь разделим обе части на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.

Выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем -1 в правую часть:

$\sqrt{2} \cos x = 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$.

Выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть:

$2 \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем значение арккосинуса:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $2 \cos x - 1 = 0$.

Выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем -1 в правую часть:

$2 \cos x = 1$

Разделим обе части на 2:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Применим общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = \frac{1}{2}$.

$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение уравнения имеет вид:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

138. a) $sin x = \frac{1}{2}$;

б) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin x = -\frac{1}{2}$;

г) $sin x = -1$.

а) Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $\sin x = a$:

$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим арксинус, используя свойство нечетности функции арксинус ($\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$):

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в формулу:

$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$, что можно записать как $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Применяем ту же общую формулу: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арксинус:

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу решения:

$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, или $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\sin x = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение синуса равно -1 в единственной точке на тригонометрической окружности. Эта точка соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению целые кратные периода.

Таким образом, общее решение имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

139. a) $\sqrt{2} \sin x + 1 = 0;$

б) $2 \sin x + \sqrt{3} = 0;$

в) $2 \sin x - 1 = 0;$

г) $2 \sin x + \sqrt{2} = 0.$

а)

Решим уравнение $ \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 $.

Сначала выразим $ \sin x $. Для этого перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$ \sqrt{2} \sin x = -1 $

Теперь разделим обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:

$ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{2} $:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, записывается по формуле:

$ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ ( $ k $ — любое целое число).

В нашем случае $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Найдем значение арксинуса, используя свойство $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставим найденное значение в общую формулу решения:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Можно упростить запись, внеся минус под степень:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим уравнение $ 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем $ \sqrt{3} $ в правую часть уравнения:

$ 2 \sin x = -\sqrt{3} $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдем значение арксинуса:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Подставим это значение в формулу:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Упростим выражение:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим уравнение $ 2 \sin x - 1 = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем -1 в правую часть:

$ 2 \sin x = 1 $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Используем общую формулу решения $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{1}{2} $. Значение арксинуса:

$ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим уравнение $ 2 \sin x + \sqrt{2} = 0 $.

Выразим $ \sin x $. Перенесем $ \sqrt{2} $ в правую часть:

$ 2 \sin x = -\sqrt{2} $

Разделим обе части на 2:

$ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение идентично тому, что мы решали в пункте а). Повторим решение.

Используем общую формулу $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение арксинуса:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Упрощаем запись:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

140. a) $ \text{tg } x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $;

б) $ \text{ctg } x = \sqrt{3} $;

в) $ \text{tg } x = 1 $;

г) $ \text{tg } x = 0 $.

а) $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение уравнения вида $\tg x = a$ записывается по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставляем это значение в формулу:

$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$

Арктангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Применим это свойство:

$x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$

Известно, что $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно, $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Окончательный вид решения:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\ctg x = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения вида $\ctg x = a$ записывается по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $a = \sqrt{3}$. Подставляем в формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Табличное значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ и $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.

Таким образом, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg x = 1$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = 1$. Следовательно:

$x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n$

Значение $\operatorname{arctg}(1)$ является табличным и равно $\frac{\pi}{4}$, поскольку $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставляем значение и получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\tg x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение можно найти, используя общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

При $a=0$ имеем:

$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$

Значение $\operatorname{arctg}(0)$ равно $0$, так как $\operatorname{tg}(0) = 0$.

Тогда решение уравнения:

$x = 0 + \pi n = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Другой способ рассуждения: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Уравнение $\sin x = 0$ имеет корни $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = (-1)^n \neq 0$, следовательно, эти значения являются решениями.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

141. a) $ \text{tg } x + \sqrt{3} = 0; $

б) $ \text{ctg } x + 1 = 0; $

в) $ \sqrt{3} \text{ tg } x - 1 = 0; $

г) $ \sqrt{3} \text{ ctg } x - 1 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $tg x + \sqrt{3} = 0$.

Чтобы решить это уравнение, сначала выразим $tg x$. Для этого перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$tg x = -\sqrt{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg x = a$ находится по формуле: $x = arctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = -\sqrt{3}$. Найдем значение арктангенса:

$arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Теперь подставим это значение в общую формулу решения:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $ctg x + 1 = 0$.

Выразим $ctg x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$ctg x = -1$

Общее решение для уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле: $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -1$. Найдем значение арккотангенса. Главное значение $arcctg(a)$ находится в интервале $(0, \pi)$.

$arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$

Подставим это значение в формулу для получения общего решения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{3} tg x - 1 = 0$.

Сначала изолируем $tg x$. Перенесем -1 в правую часть и разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} tg x = 1$

$tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Используем общую формулу для решения уравнения $tg x = a$: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем арктангенс этого значения:

$arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3} ctg x - 1 = 0$.

Выразим $ctg x$ из уравнения. Перенесем -1 вправо и разделим на $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} ctg x = 1$

$ctg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для уравнения с котангенсом $ctg x = a$ имеет вид: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение арккотангенса:

$arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$

Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

142. a) $\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Б) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0$.

а) Дано уравнение $sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$, а $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos(\frac{x}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$, а $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = \pm 3 \cdot \frac{2\pi}{3} + 3 \cdot 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sin(\frac{x}{4}) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{4}$, а $a = \frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в общую формулу:

$\frac{x}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \cdot ((-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{4\pi}{6} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим дробь $\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$:

$x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos(4x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение записывается по формуле $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставим значение в формулу:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

143. а) $ \sin x = -0.6; $

б) $ \operatorname{ctg} x = 2.5; $

в) $ \cos x = 0.3; $

г) $ \operatorname{tg} x = -3.5. $

а) Решим уравнение $ \sin x = -0,6 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения, при условии $ |a| \le 1 $, записывается по формуле: $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = -0,6 $. Так как $ |-0,6| = 0,6 \le 1 $, уравнение имеет решение.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = (-1)^k \arcsin(-0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $, мы можем упростить выражение:

$ x = (-1)^k (-\arcsin(0,6)) + \pi k $

$ x = (-1)^{k+1} \arcsin(0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 0,6 $ не является табличным значением синуса, ответ остается в виде выражения с арксинусом.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \arcsin(0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \operatorname{ctg} x = 2,5 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \operatorname{ctg} x = a $. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле: $ x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = 2,5 $.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \operatorname{arcctg}(2,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 2,5 $ не является табличным значением котангенса, ответ записывается с использованием функции арккотангенса.

Ответ: $ x = \operatorname{arcctg}(2,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ \cos x = 0,3 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos x = a $. Общее решение для такого уравнения, при условии $ |a| \le 1 $, записывается по формуле: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = 0,3 $. Так как $ |0,3| = 0,3 \le 1 $, уравнение имеет решение.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 0,3 $ не является табличным значением косинуса, ответ остается в виде выражения с арккосинусом.

Ответ: $ x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -3,5 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \operatorname{tg} x = a $. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле: $ x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -3,5 $.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \operatorname{arctg}(-3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \operatorname{arctg}(-y) = -\operatorname{arctg}(y) $, мы можем переписать решение:

$ x = -\operatorname{arctg}(3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 3,5 $ не является табличным значением тангенса, ответ записывается с использованием функции арктангенса.

Ответ: $ x = -\operatorname{arctg}(3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Решите уравнения (144–147).

144.

a) $ \sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

б) $ \operatorname{tg} (-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}; $

в) $ \cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

г) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{x}{2}\right) = 1. $

а) Дано уравнение $ \sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Поскольку синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, мы можем переписать уравнение в виде:
$ -\sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Домножив обе части на -1, получаем:
$ \sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{3} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k $
$ \frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:
$ x = 3 \cdot ((-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k) = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение $ \tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Поскольку тангенс — нечетная функция, то есть $ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $
$ \tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Общее решение для уравнения $ \tg(y) = a $ имеет вид $ y = \arctan(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 4x $ и $ a = -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Значение $ \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:
$ x = \frac{1}{4} (-\frac{\pi}{6} + \pi k) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

в) Дано уравнение $ \cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ \cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение для уравнения $ \cos(y) = a $ имеет вид $ y = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $.
Следовательно:
$ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$ x = \frac{1}{2} (\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Дано уравнение $ \ctg(-\frac{x}{2}) = 1 $.
Поскольку котангенс — нечетная функция, то есть $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $, мы можем переписать уравнение:
$ -\ctg(\frac{x}{2}) = 1 $
$ \ctg(\frac{x}{2}) = -1 $
Общее решение для уравнения $ \ctg(y) = a $ имеет вид $ y = \text{arccot}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = -1 $. Значение $ \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$ x = 2 (\frac{3\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.