Страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

122.—

a) $ \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) $;

б) $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $;

в) $ \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

г) $ \arccos 1 $.

а) Для нахождения значения $arccos(-\frac{1}{2})$ воспользуемся определением арккосинуса. Арккосинус числа $a$ (обозначается $arccos(a)$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу для арккосинуса отрицательного аргумента: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

В нашем случае $x = \frac{1}{2}$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в формулу:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Проверим: угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, и $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

б) Нам нужно найти значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

По определению, мы ищем угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Следовательно, $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

в) Для нахождения значения $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Значит, $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение обратно:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Проверим: угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, и $cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

г) Нам нужно найти значение $arccos(1)$.

По определению, мы ищем угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = 1$.

Известно, что косинус равен единице при угле, равном $0$ (а также $2\pi k$ для любого целого $k$).

Из всех этих значений только угол $0$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Следовательно, $arccos(1) = 0$.

Ответ: $0$.

123.—

a) $ \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $;

б) $ \text{arctg} (-1) $;

в) $ \text{arctg} 0 $;

г) $ \text{arctg} \sqrt{3} $.

а)

По определению арктангенса, найти $arctg \frac{1}{\sqrt{3}}$ — это значит найти такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Таким образом, мы ищем $\alpha$, для которого $tg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций для основных углов известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Поскольку угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, он и является искомым значением.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

б)

Требуется вычислить $arctg(-1)$. По определению, это такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = -1$.
Функция арктангенс является нечетной, что означает выполнение равенства $arctg(-x) = -arctg(x)$ для любого $x$.
Используя это свойство, получаем: $arctg(-1) = -arctg(1)$.
Значение $arctg(1)$ — это угол, тангенс которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

в)

Требуется найти значение $arctg(0)$. Искомое значение — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 0$.
Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю, а косинус отличен от нуля.
В интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственным углом, удовлетворяющим этому условию, является угол $\alpha = 0$.
Действительно, $tg(0) = 0$.
Ответ: $0$

г)

Требуется найти значение $arctg(\sqrt{3})$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = \sqrt{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то это и есть искомое значение.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

Имеют ли смысл выражения (124–125)?

124. а) $ \arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) $;

б) $ \arccos \sqrt{5} $;

в) $ \arcsin 1,5 $;

г) $ \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} $.

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение с обратной тригонометрической функцией, необходимо проверить, принадлежит ли ее аргумент области определения данной функции.

Областью определения функций арксинус ($y = \arcsin(a)$) и арккосинус ($y = \arccos(a)$) является отрезок $[-1; 1]$. То есть, выражения имеют смысл только в том случае, если их аргумент $a$ удовлетворяет неравенству $-1 \le a \le 1$.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = -\frac{2}{3}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.

Поскольку $-1 = -\frac{3}{3}$, а $1 = \frac{3}{3}$, неравенство можно записать как $-\frac{3}{3} \le -\frac{2}{3} \le \frac{3}{3}$. Это неравенство верно.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

б) $\arccos\sqrt{5}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = \sqrt{5}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le \sqrt{5} \le 1$.

Так как $2^2 = 4$, то $\sqrt{4}=2$. Следовательно, $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$.

Число $\sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как $\sqrt{5} > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin 1,5$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = 1,5$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le 1,5 \le 1$.

Число $1,5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) $\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le \sqrt{\frac{2}{3}} \le 1$.

Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то и $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Чтобы в этом убедиться, можно возвести в квадрат все части неравенства (это корректно, так как все они положительны): $0^2 < (\sqrt{\frac{2}{3}})^2 < 1^2$, что дает $0 < \frac{2}{3} < 1$. Это верное неравенство.

Поскольку $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$, то значение аргумента принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

125. a) $\arccos \pi$;

б) $\arcsin (3 - \sqrt{20})$;

в) $\arccos (-\sqrt{3})$;

г) $\arcsin \frac{2}{7}$.

Чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение, необходимо проверить, принадлежит ли аргумент обратной тригонометрической функции ее области определения. Областью определения для функций $y = arccos(x)$ и $y = arcsin(x)$ является отрезок $[-1, 1]$.

а) $arccos(\pi)$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $\pi$ принадлежит области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Значение числа $\pi$ приблизительно равно $3.14159...$
Поскольку $\pi > 1$, аргумент выходит за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

б) $arcsin(3 - \sqrt{20})$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $(3 - \sqrt{20})$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Оценим значение выражения $3 - \sqrt{20}$.
Известно, что $16 < 20 < 25$, следовательно, $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$, что равносильно $4 < \sqrt{20} < 5$.
Умножим неравенство на $-1$, изменив знаки неравенства: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Теперь прибавим $3$ ко всем частям неравенства:
$3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$
$-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$
Поскольку значение аргумента $3 - \sqrt{20}$ меньше $-1$, оно не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

в) $arccos(-\sqrt{3})$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $-\sqrt{3}$ принадлежит области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Значение $\sqrt{3}$ приблизительно равно $1.732...$
Следовательно, $-\sqrt{3} \approx -1.732...$
Поскольку $-\sqrt{3} < -1$, аргумент выходит за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) $arcsin\frac{2}{7}$
Данное выражение имеет смысл, если его аргумент $\frac{2}{7}$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Проверим выполнение двойного неравенства: $-1 \le \frac{2}{7} \le 1$.
Дробь $\frac{2}{7}$ является положительной, поэтому неравенство $-1 \le \frac{2}{7}$ очевидно верно.
Так как у правильной дроби $\frac{2}{7}$ числитель ($2$) меньше знаменателя ($7$), то ее значение меньше $1$. Таким образом, неравенство $\frac{2}{7} \le 1$ также верно.
Поскольку аргумент $\frac{2}{7}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, данное выражение имеет смысл.
Ответ: выражение имеет смысл.

Найдите значения выражений (126–128).

126. a) $\arcsin 0 + \arccos 0;$

б) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2};$

в) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $\arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}.$

а) $\arcsin 0 + \arccos 0$

Для решения этого выражения можно воспользоваться основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$.

В данном случае $x = 0$, поэтому:

$\arcsin 0 + \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$

Также можно найти значение каждого слагаемого отдельно:

$\arcsin 0 = 0$, так как $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.

Суммируя результаты, получаем: $0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{1}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого по отдельности.

По определению арксинуса, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арккосинуса, $\arccos\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

Ответ: $\frac{\pi}{12}$

в) $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся тождеством $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$

Проверим, вычислив каждое слагаемое:

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$.

Суммируя результаты: $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

г) $\arcsin(-1) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого.

По определению арксинуса, $\arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{2}$. Итак, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Итак, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Сложим полученные значения:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

127. a) $ \arccos (-0,5) + \arcsin (-0,5); $

б) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin (-1); $

в) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

г) $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Для вычисления значения выражения $\arccos(-0,5) + \arcsin(-0,5)$ воспользуемся свойствами обратных тригонометрических функций.
Свойство для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
Свойство для арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$\arccos(-0,5) = \pi - \arccos(0,5) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\arcsin(-0,5) = -\arcsin(0,5) = -\frac{\pi}{6}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Найдем значение выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(-1)$.
Вычислим значение каждого члена выражения:
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
Выполним вычитание:
$\frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

в) Для выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ можно применить тождество $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.
Это тождество справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.
В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$, тождество применимо.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Найдем значение выражения $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычислим значения арккосинуса и арксинуса по табличным значениям:
$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{12}$.

128.-

a) $arctg 1 - arctg \sqrt{3}$;

б) $arctg 1 - arctg (-1)$;

в) $arctg (-\sqrt{3}) + arctg 0$;

г) $arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3}$.

а) Для того чтобы вычислить значение выражения $arctg \ 1 - arctg \sqrt{3}$, необходимо найти значения каждого из арктангенсов. Арктангенс числа $x$ ($arctg \ x$) — это угол $\alpha$, лежащий в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.
Найдем значение $arctg \ 1$. Угол, тангенс которого равен 1, это $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $arctg \ 1 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем значение $arctg \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю:
$arctg \ 1 - arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{12}$.

б) Для вычисления выражения $arctg \ 1 - arctg (-1)$ воспользуемся известным значением $arctg \ 1$ и свойством нечетности функции арктангенс: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Мы знаем, что $arctg \ 1 = \frac{\pi}{4}$.
Применяя свойство нечетности, получаем: $arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим значения в исходное выражение:
$arctg \ 1 - arctg (-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) Рассмотрим выражение $arctg (-\sqrt{3}) + arctg \ 0$.
Для первого слагаемого используем свойство нечетности арктангенса: $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$. Так как $arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, то $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Для второго слагаемого: $arctg \ 0$ — это угол, тангенс которого равен 0. Этот угол равен 0. Итак, $arctg \ 0 = 0$.
Теперь выполним сложение:
$arctg (-\sqrt{3}) + arctg \ 0 = -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г) Рассмотрим выражение $arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3}$.
Найдем табличные значения для каждого слагаемого.
Значение $arctg \frac{1}{\sqrt{3}}$ — это угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
Значение $arctg \sqrt{3}$ — это угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Сложим полученные значения, приведя их к общему знаменателю:
$arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

129. Сравните числа:

a) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) $ и $ \operatorname{arctg}(-1) $;

в) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3} $ и $ \arcsin 1 $;

г) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ и $ \arcsin \frac{1}{2} $.

а) Чтобы сравнить числа $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$, найдем их значения.
По определению арксинуса, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$, то $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) < \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\operatorname{arctg}(-1)$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем значение второго числа. $\operatorname{arctg}(-1)$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $-1$. Так как $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ и $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, то $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{2\pi}{3}$ является положительным числом, а $-\frac{\pi}{4}$ – отрицательным. Таким образом, $\frac{2\pi}{3} > -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) > \operatorname{arctg}(-1)$.

в) Сравним числа $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ и $\arcsin 1$.
Вычислим значение первого выражения. $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$ – это угол из промежутка $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$. Итак, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Вычислим значение второго выражения. $\arcsin 1$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Итак, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Теперь сравним $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$. Так как $2\pi < 3\pi$, то $\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6}$, а значит $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.
Ответ: $\operatorname{arctg}\sqrt{3} < \arcsin 1$.

г) Сравним числа $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ и $\arcsin\frac{1}{2}$.
Найдем значение первого числа. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Найдем значение второго числа. $\arcsin\frac{1}{2}$ – это угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Сравниваем полученные значения: $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Так как $5 > 1$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) > \arcsin\frac{1}{2}$.

130.— С помощью калькулятора или таблиц найдите значение выражения:

а) $arcsin 0,3010$; $arctg 2,3$;

б) $arccos 0,6081$; $arctg 0,3541$;

в) $arcsin 0,7801$; $arccos 0,8771$;

г) $arctg 10$; $arcsin 0,4303$.

Для решения данной задачи воспользуемся инженерным калькулятором. Ответы будем представлять в градусах, округляя результат до двух знаков после запятой.

а)

Находим значение $ \arcsin 0,3010 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \arcsin 0,3010 \approx 17,52^\circ $

Находим значение $ \operatorname{arctg} 2,3 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \operatorname{arctg} 2,3 \approx 66,50^\circ $

Ответ: $ \arcsin 0,3010 \approx 17,52^\circ $; $ \operatorname{arctg} 2,3 \approx 66,50^\circ $.

б)

Находим значение $ \arccos 0,6081 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \arccos 0,6081 \approx 52,54^\circ $

Находим значение $ \operatorname{arctg} 0,3541 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \operatorname{arctg} 0,3541 \approx 19,50^\circ $

Ответ: $ \arccos 0,6081 \approx 52,54^\circ $; $ \operatorname{arctg} 0,3541 \approx 19,50^\circ $.

в)

Находим значение $ \arcsin 0,7801 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \arcsin 0,7801 \approx 51,27^\circ $

Находим значение $ \arccos 0,8771 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \arccos 0,8771 \approx 28,70^\circ $

Ответ: $ \arcsin 0,7801 \approx 51,27^\circ $; $ \arccos 0,8771 \approx 28,70^\circ $.

г)

Находим значение $ \operatorname{arctg} 10 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \operatorname{arctg} 10 \approx 84,29^\circ $

Находим значение $ \arcsin 0,4303 $. С помощью калькулятора получаем:
$ \arcsin 0,4303 \approx 25,48^\circ $

Ответ: $ \operatorname{arctg} 10 \approx 84,29^\circ $; $ \arcsin 0,4303 \approx 25,48^\circ $.