Страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

111.— Найдите область значений функции:

а) $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x;$

б) $y = \frac{3}{1 + \operatorname{tg}^2 x};$

в) $y = \sqrt{1 - \cos 4x};$

г) $y = \frac{2}{1 + \operatorname{ctg}^2 x}.$

а) $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$

Для нахождения области значений функции вида $a \sin x + b \cos x$ воспользуемся методом вспомогательного аргумента. Преобразуем выражение:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$

В нашем случае $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Найдем коэффициент:

$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $2$ за скобки:

$y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$y = 2 \left( \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Область значений функции синус, $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, находится в промежутке $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений исходной функции $y$ будет $[-1 \cdot 2, 1 \cdot 2] = [-2, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2, 2]$.

б) $y = \frac{3}{1 + \tg^2 x}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставим это тождество в исходную функцию:

$y = \frac{3}{1/\cos^2 x} = 3\cos^2 x$

Теперь найдем область значений для $y = 3\cos^2 x$. Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Тогда область значений $\cos^2 x$ - это отрезок $[0, 1]$.

Однако, исходная функция содержит $\tg x$, который не определен, когда $\cos x = 0$. Следовательно, в области определения исходной функции $\cos x \neq 0$, и, соответственно, $\cos^2 x \neq 0$.

Таким образом, для нашей функции значения $\cos^2 x$ принадлежат полуинтервалу $(0, 1]$.

Умножив на 3, получим область значений для $y$: $(0 \cdot 3, 1 \cdot 3] = (0, 3]$.

Ответ: $E(y) = (0, 3]$.

в) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла в другой записи): $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

В нашем случае $2\alpha = 4x$, значит $\alpha = 2x$. Получаем:

$1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \sqrt{2\sin^2(2x)} = \sqrt{2} \sqrt{\sin^2(2x)} = \sqrt{2}|\sin(2x)|$

Область значений функции $\sin(2x)$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Для функции модуля синуса, $|\sin(2x)|$, область значений - это отрезок $[0, 1]$.

Умножая на $\sqrt{2}$, получаем область значений для $y$:

$[0 \cdot \sqrt{2}, 1 \cdot \sqrt{2}] = [0, \sqrt{2}]$

Ответ: $E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

г) $y = \frac{2}{1 + \ctg^2 x}$

Используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставим его в функцию:

$y = \frac{2}{1/\sin^2 x} = 2\sin^2 x$

Область значений $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений $\sin^2 x$ - это отрезок $[0, 1]$.

Однако, в исходной функции присутствует $\ctg x$, который не определен, когда $\sin x = 0$. Значит, из области определения исключаются точки, где $\sin x = 0$, и, соответственно, $\sin^2 x \neq 0$.

Поэтому значения $\sin^2 x$ для нашей функции принадлежат полуинтервалу $(0, 1]$.

Умножив на 2, находим область значений для $y$: $(0 \cdot 2, 1 \cdot 2] = (0, 2]$.

Ответ: $E(y) = (0, 2]$.

Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113).

112. a) $f(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

в) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $f(x) = 1,5 \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right).$

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

1. Область определения:
Аргумент косинуса может принимать любые действительные значения, поэтому область определения функции — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:
Функция $\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, функция $2\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-2, 2]$.
$E(f) = [-2, 2]$.

3. Четность и нечетность:
$f(-x) = 2 \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-(x - \frac{\pi}{4})) = 2 \cos(x - \frac{\pi}{4})$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Периодичность:
Функция косинус периодическая с основным периодом $2\pi$. Сдвиг по оси абсцисс не влияет на период.
$T = 2\pi$.

5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):
$f(x) = 0 \implies 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) > 0$, что выполняется на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < 0$, что выполняется на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
Найдем производную: $f'(x) = (2 \cos(x + \frac{\pi}{4}))' = -2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0$.
Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{max} = 2$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{min} = -2$.

8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(-\frac{\pi}{4}, 2)$, пересечение с Ox $(\frac{\pi}{4}, 0)$, минимум $(\frac{3\pi}{4}, -2)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — периодическая с периодом $T=2\pi$, область определения $D(f)=\mathbb{R}$, область значений $E(f)=[-2, 2]$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы $y=2$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, минимумы $y=-2$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом графика $y=\cos x$ влево на $\frac{\pi}{4}$ и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.

Проведем исследование функции. Используем свойство нечетности синуса: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Функция общего вида.

4. Периодичность: Период синуса $2\pi$, сдвиг не влияет на период. $T = 2\pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$x - \frac{\pi}{3} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.
Возрастает при $f'(x) > 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x) < 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $x_{max} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$), $y_{max} = \frac{1}{2}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -\frac{1}{2}$.

8. Построение графика:
График $f(x) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из $y=\sin(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox.
3. Сжатие вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: пересечение с Ox $(\frac{\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{5\pi}{6}, -0.5)$, пересечение с Ox $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, максимум $(\frac{11\pi}{6}, 0.5)$.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули при $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=0.5$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-0.5$ при $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\sin x$ вправо на $\frac{\pi}{3}$, отражением по оси Ox и сжатием по оси Oy в 2 раза.

Проведем исследование функции $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

1. Область определения:
Функция тангенс не определена, когда косинус в знаменателе равен нулю. $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = \tg(-x - \frac{\pi}{4}) = -\tg(x + \frac{\pi}{4})$. Функция общего вида.

4. Периодичность: Период тангенса $\pi$. $T = \pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \tg(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (\tg(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.
Так как $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает на каждом интервале определения, например на $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Экстремумов нет.

8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
Асимптоты $y=\tg(x)$ в точках $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ смещаются в точки $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$. Нули смещаются из $x=\pi n$ в $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.

Ответ: Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$, область значений $E(f)=\mathbb{R}$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Функция возрастает на всей области определения. График строится сдвигом $y=\tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Проведем исследование функции. Используем свойство четности косинуса: $f(x) = 1.5 \cos(- (x - \frac{\pi}{6})) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-1.5, 1.5]$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = 1.5 \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = 1.5 \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Функция общего вида.

4. Периодичность: $T = 2\pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6}))' = -1.5 \sin(x - \frac{\pi}{6})$.
Возрастает при $f'(x)>0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x)<0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{max} = 1.5$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -1.5$.

8. Построение графика:
График $f(x) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из $y=\cos(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 1.5 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(\frac{\pi}{6}, 1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{7\pi}{6}, -1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{3}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1.5, 1.5]$. Нули при $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=1.5$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-1.5$ при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ и растяжением вдоль оси OY в 1.5 раза.

113. a) $f(x) = \sin \left( 2x - \frac{2\pi}{3} \right);$

б) $f(x) = \operatorname{ctg} \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right);$

в) $f(x) = 4 \cos \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right);$

г) $f(x) = \operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{4} - 3x \right).$

Задача состоит в нахождении основного (наименьшего положительного) периода заданных тригонометрических функций. Для этого используются стандартные формулы, в которых $T$ обозначает период, а $k$ — коэффициент при переменной $x$ в аргументе функции.

• Для функций вида $y = A \sin(kx+b)$ и $y = A \cos(kx+b)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

• Для функций вида $y = A \operatorname{tg}(kx+b)$ и $y = A \operatorname{ctg}(kx+b)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

а) $f(x) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$

Это функция синуса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=2$. Используем формулу для периода синуса.

Вычисление периода:

$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $f(x) = \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Это функция котангенса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=\frac{1}{2}$. Используем формулу для периода котангенса.

Вычисление периода:

$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

в) $f(x) = 4\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right)$

Это функция косинуса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=\frac{1}{3}$. Множитель 4 перед функцией влияет на амплитуду, но не изменяет период. Используем формулу для периода косинуса.

Вычисление периода:

$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.

г) $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} - 3x\right)$

Это функция тангенса. Коэффициент при $x$ в ее аргументе равен $k=-3$. Используем формулу для периода тангенса.

Вычисление периода:

$T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|-3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

114.- По графику, изображенному на рисунке 64, определите амплитуду силы тока (или напряжения), период колебания. Запишите закон зависимости силы тока (или напряжения) от времени.

а) Амплитуда: $I_m = 15$ А

Период: $T = 0.4$ с

Закон зависимости: $I(t) = 15 \sin(\frac{2\pi}{0.4} t)$ А или $I(t) = 15 \sin(5\pi t)$ А

б) Амплитуда: $U_m = 90$ В

Период: $T = 0.08$ с

Закон зависимости: $U(t) = 90 \sin(\frac{2\pi}{0.08} t)$ В или $U(t) = 90 \sin(25\pi t)$ В

в) Амплитуда: $I_m = 12$ А

Период: $T = 1.2$ с

Закон зависимости: $I(t) = 12 \sin(\frac{2\pi}{1.2} t)$ А или $I(t) = 12 \sin(\frac{5\pi}{3} t)$ А

г) Амплитуда: $U_m = 100$ В

Период: $T = 0.8$ с

Закон зависимости: $U(t) = 100 \sin(\frac{2\pi}{0.8} t)$ В или $U(t) = 100 \sin(2.5\pi t)$ В

Рис. 64

а)
Анализ графика зависимости силы тока $I$ от времени $t$:
- Амплитуда силы тока ($I_m$): Максимальное значение, которого достигает сила тока на графике, равно 15 А. Следовательно, амплитуда $I_m = 15$ А.
- Период колебаний ($T$): Время одного полного колебания. Из графика видно, что синусоида совершает один полный цикл за 0,4 секунды (например, от $t=0$ до $t=0,4$ с). Таким образом, $T = 0,4$ с.
- Закон зависимости силы тока от времени: Уравнение гармонических колебаний имеет вид $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$. Поскольку при $t=0$ сила тока $i=0$ и затем возрастает, это колебания по закону синуса, и начальная фаза $\phi_0 = 0$.
Циклическая частота $\omega$ находится по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$\omega = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi$ рад/с.
Подставляя значения амплитуды и частоты, получаем уравнение: $i(t) = 15 \sin(5\pi t)$.
Ответ: Амплитуда $I_m = 15$ А, период $T = 0,4$ с, закон зависимости $i(t) = 15 \sin(5\pi t)$ (А).

б)
Анализ графика зависимости напряжения $U$ от времени $t$:
- Амплитуда напряжения ($U_m$): Максимальное значение, которого достигает напряжение на графике, равно 90 В. Следовательно, амплитуда $U_m = 90$ В.
- Период колебаний ($T$): Время одного полного колебания. Из графика видно, что одно полное колебание происходит за 0,08 секунды (от $t=0$ до $t=0,08$ с). Таким образом, $T = 0,08$ с.
- Закон зависимости напряжения от времени: Уравнение имеет вид $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$. Поскольку при $t=0$ напряжение $u=0$ и затем возрастает, это колебания по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.
Циклическая частота $\omega$ находится по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$\omega = \frac{2\pi}{0,08} = 25\pi$ рад/с.
Подставляя значения амплитуды и частоты, получаем уравнение: $u(t) = 90 \sin(25\pi t)$.
Ответ: Амплитуда $U_m = 90$ В, период $T = 0,08$ с, закон зависимости $u(t) = 90 \sin(25\pi t)$ (В).

в)
Анализ графика зависимости силы тока $I$ от времени $t$:
- Амплитуда силы тока ($I_m$): Максимальное значение силы тока на графике равно 12 А. Следовательно, амплитуда $I_m = 12$ А.
- Период колебаний ($T$): Время одного полного колебания. Из графика видно, что один полный цикл завершается за 1,2 секунды (от $t=0$ до $t=1,2$ с). Таким образом, $T = 1,2$ с.
- Закон зависимости силы тока от времени: Уравнение имеет вид $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$. При $t=0$ сила тока $i=0$ и возрастает, следовательно, это колебания по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.
Циклическая частота $\omega$ находится по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$\omega = \frac{2\pi}{1,2} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$ рад/с.
Подставляя значения, получаем уравнение: $i(t) = 12 \sin(\frac{5\pi}{3} t)$.
Ответ: Амплитуда $I_m = 12$ А, период $T = 1,2$ с, закон зависимости $i(t) = 12 \sin(\frac{5\pi}{3} t)$ (А).

г)
Анализ графика зависимости напряжения $U$ от времени $t$:
- Амплитуда напряжения ($U_m$): Максимальное значение напряжения на графике равно 100 В. Следовательно, амплитуда $U_m = 100$ В.
- Период колебаний ($T$): Время одного полного колебания. Из графика видно, что один полный цикл происходит за 0,8 секунды (от $t=0$ до $t=0,8$ с). Таким образом, $T = 0,8$ с.
- Закон зависимости напряжения от времени: Уравнение имеет вид $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$. При $t=0$ напряжение $u=0$ и возрастает, значит, это колебания по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.
Циклическая частота $\omega$ находится по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$\omega = \frac{2\pi}{0,8} = \frac{20\pi}{8} = \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi$ рад/с.
Подставляя значения, получаем уравнение: $u(t) = 100 \sin(2,5\pi t)$.
Ответ: Амплитуда $U_m = 100$ В, период $T = 0,8$ с, закон зависимости $u(t) = 100 \sin(2,5\pi t)$ (В).