Номер 112, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 112, страница 63.

Условие.

Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113).

112. a) $f(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

в) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $f(x) = 1,5 \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

1. Область определения:
Аргумент косинуса может принимать любые действительные значения, поэтому область определения функции — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:
Функция $\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, функция $2\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-2, 2]$.
$E(f) = [-2, 2]$.

3. Четность и нечетность:
$f(-x) = 2 \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-(x - \frac{\pi}{4})) = 2 \cos(x - \frac{\pi}{4})$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Периодичность:
Функция косинус периодическая с основным периодом $2\pi$. Сдвиг по оси абсцисс не влияет на период.
$T = 2\pi$.

5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):
$f(x) = 0 \implies 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) > 0$, что выполняется на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < 0$, что выполняется на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
Найдем производную: $f'(x) = (2 \cos(x + \frac{\pi}{4}))' = -2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0$.
Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{max} = 2$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{min} = -2$.

8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(-\frac{\pi}{4}, 2)$, пересечение с Ox $(\frac{\pi}{4}, 0)$, минимум $(\frac{3\pi}{4}, -2)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — периодическая с периодом $T=2\pi$, область определения $D(f)=\mathbb{R}$, область значений $E(f)=[-2, 2]$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы $y=2$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, минимумы $y=-2$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом графика $y=\cos x$ влево на $\frac{\pi}{4}$ и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.

б) $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$

Проведем исследование функции. Используем свойство нечетности синуса: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Функция общего вида.

4. Периодичность: Период синуса $2\pi$, сдвиг не влияет на период. $T = 2\pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$x - \frac{\pi}{3} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.
Возрастает при $f'(x) > 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x) < 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $x_{max} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$), $y_{max} = \frac{1}{2}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -\frac{1}{2}$.

8. Построение графика:
График $f(x) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из $y=\sin(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox.
3. Сжатие вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: пересечение с Ox $(\frac{\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{5\pi}{6}, -0.5)$, пересечение с Ox $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, максимум $(\frac{11\pi}{6}, 0.5)$.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули при $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=0.5$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-0.5$ при $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\sin x$ вправо на $\frac{\pi}{3}$, отражением по оси Ox и сжатием по оси Oy в 2 раза.

в) $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$

Проведем исследование функции $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

1. Область определения:
Функция тангенс не определена, когда косинус в знаменателе равен нулю. $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = \tg(-x - \frac{\pi}{4}) = -\tg(x + \frac{\pi}{4})$. Функция общего вида.

4. Периодичность: Период тангенса $\pi$. $T = \pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \tg(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (\tg(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.
Так как $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает на каждом интервале определения, например на $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Экстремумов нет.

8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
Асимптоты $y=\tg(x)$ в точках $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ смещаются в точки $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$. Нули смещаются из $x=\pi n$ в $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.

Ответ: Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$, область значений $E(f)=\mathbb{R}$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Функция возрастает на всей области определения. График строится сдвигом $y=\tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

г) $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Проведем исследование функции. Используем свойство четности косинуса: $f(x) = 1.5 \cos(- (x - \frac{\pi}{6})) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-1.5, 1.5]$.

3. Четность и нечетность: $f(-x) = 1.5 \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = 1.5 \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Функция общего вида.

4. Периодичность: $T = 2\pi$.

5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6}))' = -1.5 \sin(x - \frac{\pi}{6})$.
Возрастает при $f'(x)>0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x)<0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{max} = 1.5$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -1.5$.

8. Построение графика:
График $f(x) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из $y=\cos(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 1.5 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(\frac{\pi}{6}, 1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{7\pi}{6}, -1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{3}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1.5, 1.5]$. Нули при $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=1.5$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-1.5$ при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ и растяжением вдоль оси OY в 1.5 раза.