Номер 118, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 118, страница 67.

Условие.

Отметьте на единичной окружности точки $P_t$, для которых соответствующее значение $t$ удовлетворяет данному равенству. Найдите значение $t$, принадлежащее указанному промежутку (118—120).

118. a) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

г) $\sin t = 1$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо найти углы $t$ из заданного промежутка, синус которых равен указанному значению. На единичной окружности значение $\sin t$ соответствует ординате (координате y) точки $P_t$. Промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ соответствует правой половине единичной окружности, включая точки $(0, -1)$ и $(0, 1)$.

а) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

На единичной окружности ищем точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таких точек две: одна в первой четверти, другая — во второй. Их общие решения задаются формулами $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем из этих решений то, которое принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{\pi}{4}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, единственное подходящее значение $t$ - это $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

На единичной окружности ищем точки с ординатой $-\frac{1}{2}$. Эти точки находятся в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (или $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем решение из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{6}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, искомое значение $t$ равно $-\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$

в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Ищем точки на единичной окружности, ордината которых равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки расположены в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (или $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, принадлежащее промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Для серии $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение не принадлежит заданному промежутку, поскольку $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.

Значит, единственное решение в указанном промежутке - это $t = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$

г) $\sin t = 1$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Уравнение $\sin t = 1$ выполняется в единственной точке на единичной окружности — в точке с координатами $(0, 1)$, которая является верхней точкой окружности. Общее решение этого уравнения: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, которое находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

При $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{2}$. Это значение является правым концом промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и, следовательно, принадлежит ему.

При других целых значениях $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$) получаемые значения $t$ ($\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$) выходят за рамки указанного промежутка.

Таким образом, искомое значение $t = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$