Номер 118, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 118, страница 67.
№118 (с. 67)
Условие. №118 (с. 67)
скриншот условия

Отметьте на единичной окружности точки $P_t$, для которых соответствующее значение $t$ удовлетворяет данному равенству. Найдите значение $t$, принадлежащее указанному промежутку (118—120).
118. a) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;
б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;
в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;
г) $\sin t = 1$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Решение 1. №118 (с. 67)

Решение 3. №118 (с. 67)

Решение 5. №118 (с. 67)
Для решения задачи необходимо найти углы $t$ из заданного промежутка, синус которых равен указанному значению. На единичной окружности значение $\sin t$ соответствует ординате (координате y) точки $P_t$. Промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ соответствует правой половине единичной окружности, включая точки $(0, -1)$ и $(0, 1)$.
а) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
На единичной окружности ищем точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таких точек две: одна в первой четверти, другая — во второй. Их общие решения задаются формулами $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем из этих решений то, которое принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Для серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{\pi}{4}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.
2. Для серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственное подходящее значение $t$ - это $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$
б) $\sin t = -\frac{1}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
На единичной окружности ищем точки с ординатой $-\frac{1}{2}$. Эти точки находятся в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (или $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Выберем решение из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Для серии $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{6}$. Это значение входит в заданный промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.
2. Для серии $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный промежуток, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, искомое значение $t$ равно $-\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$
в) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
Ищем точки на единичной окружности, ордината которых равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки расположены в третьей и четвертой четвертях. Общие решения уравнения: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (или $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, принадлежащее промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Для серии $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.
2. Для серии $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$, получаем $t = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение не принадлежит заданному промежутку, поскольку $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.
Значит, единственное решение в указанном промежутке - это $t = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$
г) $\sin t = 1$, $t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
Уравнение $\sin t = 1$ выполняется в единственной точке на единичной окружности — в точке с координатами $(0, 1)$, которая является верхней точкой окружности. Общее решение этого уравнения: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем решение, которое находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{2}$. Это значение является правым концом промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и, следовательно, принадлежит ему.
При других целых значениях $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$) получаемые значения $t$ ($\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$) выходят за рамки указанного промежутка.
Таким образом, искомое значение $t = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 118 расположенного на странице 67 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №118 (с. 67), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.