Номер 120, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 120, страница 67.
№120 (с. 67)
Условие. №120 (с. 67)
скриншот условия

120. a) $tg t = -1, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$
б) $ctg t = \sqrt{3}, (0; \pi);$
в) $tg t = \sqrt{3}, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$
г) $ctg t = -1, (0; \pi).$
Решение 1. №120 (с. 67)

Решение 3. №120 (с. 67)

Решение 5. №120 (с. 67)
а)
Для решения уравнения $\text{tg } t = -1$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ дается формулой $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арктангенса для -1 равно $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = -\frac{\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.
б)
Для решения уравнения $\text{ctg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арккотангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{6} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{6} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.
в)
Для решения уравнения $\text{tg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ имеет вид $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{3}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{4\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.
г)
Для решения уравнения $\text{ctg } t = -1$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арккотангенса для -1 равно $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{4} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{\pi}{4} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 120 расположенного на странице 67 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №120 (с. 67), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.