Номер 120, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 120, страница 67.

Условие.

120. a) $tg t = -1, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

б) $ctg t = \sqrt{3}, (0; \pi);$

в) $tg t = \sqrt{3}, (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

г) $ctg t = -1, (0; \pi).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для решения уравнения $\text{tg } t = -1$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ дается формулой $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арктангенса для -1 равно $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = -\frac{\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

б)

Для решения уравнения $\text{ctg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арккотангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{6} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{5\pi}{6} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

в)

Для решения уравнения $\text{tg } t = \sqrt{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы ищем угол $t$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $\text{tg } t = a$ имеет вид $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, $a = \sqrt{3}$. Главное значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{3}$. Это значение находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
- При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{4\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$.
- При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

г)

Для решения уравнения $\text{ctg } t = -1$ на интервале $t \in (0; \pi)$, мы ищем угол $t$, котангенс которого равен -1.
Общее решение уравнения $\text{ctg } t = a$ дается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $a = -1$. Главное значение арккотангенса для -1 равно $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
Нам нужно найти корень, который принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Проверим значения для разных целых $n$:
- При $n = 0$: $t = \frac{3\pi}{4}$. Это значение находится в интервале $(0; \pi)$, так как $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$.
- При $n = 1$: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $\frac{7\pi}{4} > \pi$.
- При $n = -1$: $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Это значение также не входит в интервал, так как $-\frac{\pi}{4} < 0$.
Таким образом, единственным решением на указанном интервале является $t = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.