Номер 124, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 124, страница 68.

Условие.

Имеют ли смысл выражения (124–125)?

124. а) $ \arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) $;

б) $ \arccos \sqrt{5} $;

в) $ \arcsin 1,5 $;

г) $ \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение с обратной тригонометрической функцией, необходимо проверить, принадлежит ли ее аргумент области определения данной функции.

Областью определения функций арксинус ($y = \arcsin(a)$) и арккосинус ($y = \arccos(a)$) является отрезок $[-1; 1]$. То есть, выражения имеют смысл только в том случае, если их аргумент $a$ удовлетворяет неравенству $-1 \le a \le 1$.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = -\frac{2}{3}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.

Поскольку $-1 = -\frac{3}{3}$, а $1 = \frac{3}{3}$, неравенство можно записать как $-\frac{3}{3} \le -\frac{2}{3} \le \frac{3}{3}$. Это неравенство верно.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

б) $\arccos\sqrt{5}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = \sqrt{5}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le \sqrt{5} \le 1$.

Так как $2^2 = 4$, то $\sqrt{4}=2$. Следовательно, $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$.

Число $\sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как $\sqrt{5} > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin 1,5$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = 1,5$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le 1,5 \le 1$.

Число $1,5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) $\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента $a = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Необходимо проверить неравенство $-1 \le \sqrt{\frac{2}{3}} \le 1$.

Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то и $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Чтобы в этом убедиться, можно возвести в квадрат все части неравенства (это корректно, так как все они положительны): $0^2 < (\sqrt{\frac{2}{3}})^2 < 1^2$, что дает $0 < \frac{2}{3} < 1$. Это верное неравенство.

Поскольку $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$, то значение аргумента принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.