Номер 117, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 117, страница 67.
№117 (с. 67)
Условие. №117 (с. 67)
скриншот условия

117.— a) $(x - 3)^3 = -4, x \in (-\infty; \infty);$
б) $2 \sin x = 1,5, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$
В) $(x + 2)^4 = 5, x \in [-2; \infty);$
г) $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}, x \in [0; \pi].$
Решение 1. №117 (с. 67)

Решение 3. №117 (с. 67)

Решение 4. №117 (с. 67)

Решение 5. №117 (с. 67)
а) Дано уравнение $(x - 3)^3 = -4$ с областью определения $x \in (-\infty; \infty)$.
Для решения извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Кубический корень однозначно определен для любого действительного числа.
$x - 3 = \sqrt[3]{-4}$
Так как $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, получаем:
$x - 3 = -\sqrt[3]{4}$
Перенесем -3 в правую часть уравнения, чтобы выразить $x$:
$x = 3 - \sqrt[3]{4}$
Полученное значение является действительным числом, следовательно, оно принадлежит указанной области определения $(-\infty; \infty)$.
Ответ: $x = 3 - \sqrt[3]{4}$.
б) Дано уравнение $2 \sin x = 1,5$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sin x$:
$\sin x = \frac{1,5}{2} = 0,75 = \frac{3}{4}$
Решением уравнения $\sin x = a$ является $x = \arcsin(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Область значений функции арксинус как раз является отрезком $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:
$x = \arcsin(\frac{3}{4})$
Так как $0 < \frac{3}{4} < 1$, то $0 < \arcsin(\frac{3}{4}) < \frac{\pi}{2}$, что удовлетворяет условию $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{4})$.
в) Дано уравнение $(x + 2)^4 = 5$ на промежутке $x \in [-2; \infty)$.
Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как степень четная, существует два действительных корня:
$x + 2 = \sqrt[4]{5}$ или $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) $x + 2 = \sqrt[4]{5}$
$x_1 = \sqrt[4]{5} - 2$
Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > \sqrt[4]{1} = 1$, то $\sqrt[4]{5} - 2 > 1 - 2 = -1$. Так как $-1 > -2$, корень $x_1$ принадлежит заданному промежутку.
2) $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$
$x_2 = -\sqrt[4]{5} - 2$
Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > 0$, то $-\sqrt[4]{5} < 0$. Следовательно, $-\sqrt[4]{5} - 2 < -2$. Этот корень не принадлежит заданному промежутку.
Таким образом, у уравнения есть только одно решение на указанном промежутке.
Ответ: $x = \sqrt[4]{5} - 2$.
г) Дано уравнение $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}$ на отрезке $\alpha \in [0; \pi]$ (в условии опечатка, вместо $x$ должна быть $\alpha$).
Сначала выразим $\cos \alpha$. Умножим обе части уравнения на 2:
$0,5 \cdot 2 \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4} \cdot 2$
$\cos \alpha = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Решением уравнения $\cos \alpha = a$ является $\alpha = \arccos(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[0; \pi]$.
Область значений функции арккосинус как раз является отрезком $[0; \pi]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:
$\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$
Используя свойство арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, находим значение:
$\alpha = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.
Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 117 расположенного на странице 67 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №117 (с. 67), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.