Номер 117, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 117, страница 67.

Условие.

117.— a) $(x - 3)^3 = -4, x \in (-\infty; \infty);$

б) $2 \sin x = 1,5, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

В) $(x + 2)^4 = 5, x \in [-2; \infty);$

г) $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}, x \in [0; \pi].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение $(x - 3)^3 = -4$ с областью определения $x \in (-\infty; \infty)$.

Для решения извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Кубический корень однозначно определен для любого действительного числа.

$x - 3 = \sqrt[3]{-4}$

Так как $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, получаем:

$x - 3 = -\sqrt[3]{4}$

Перенесем -3 в правую часть уравнения, чтобы выразить $x$:

$x = 3 - \sqrt[3]{4}$

Полученное значение является действительным числом, следовательно, оно принадлежит указанной области определения $(-\infty; \infty)$.

Ответ: $x = 3 - \sqrt[3]{4}$.

б) Дано уравнение $2 \sin x = 1,5$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sin x$:

$\sin x = \frac{1,5}{2} = 0,75 = \frac{3}{4}$

Решением уравнения $\sin x = a$ является $x = \arcsin(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Область значений функции арксинус как раз является отрезком $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:

$x = \arcsin(\frac{3}{4})$

Так как $0 < \frac{3}{4} < 1$, то $0 < \arcsin(\frac{3}{4}) < \frac{\pi}{2}$, что удовлетворяет условию $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{4})$.

в) Дано уравнение $(x + 2)^4 = 5$ на промежутке $x \in [-2; \infty)$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как степень четная, существует два действительных корня:

$x + 2 = \sqrt[4]{5}$ или $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $x + 2 = \sqrt[4]{5}$

$x_1 = \sqrt[4]{5} - 2$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > \sqrt[4]{1} = 1$, то $\sqrt[4]{5} - 2 > 1 - 2 = -1$. Так как $-1 > -2$, корень $x_1$ принадлежит заданному промежутку.

2) $x + 2 = -\sqrt[4]{5}$

$x_2 = -\sqrt[4]{5} - 2$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2; \infty)$. Поскольку $\sqrt[4]{5} > 0$, то $-\sqrt[4]{5} < 0$. Следовательно, $-\sqrt[4]{5} - 2 < -2$. Этот корень не принадлежит заданному промежутку.

Таким образом, у уравнения есть только одно решение на указанном промежутке.

Ответ: $x = \sqrt[4]{5} - 2$.

г) Дано уравнение $0,5 \cos \alpha = -\frac{1}{4}$ на отрезке $\alpha \in [0; \pi]$ (в условии опечатка, вместо $x$ должна быть $\alpha$).

Сначала выразим $\cos \alpha$. Умножим обе части уравнения на 2:

$0,5 \cdot 2 \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4} \cdot 2$

$\cos \alpha = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Решением уравнения $\cos \alpha = a$ является $\alpha = \arccos(a)$. Нам нужно найти корень, принадлежащий отрезку $[0; \pi]$.

Область значений функции арккосинус как раз является отрезком $[0; \pi]$. Поэтому на данном отрезке уравнение имеет единственное решение:

$\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$

Используя свойство арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, находим значение:

$\alpha = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.