Номер 111, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 111, страница 63.

Условие.

111.— Найдите область значений функции:

а) $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x;$

б) $y = \frac{3}{1 + \operatorname{tg}^2 x};$

в) $y = \sqrt{1 - \cos 4x};$

г) $y = \frac{2}{1 + \operatorname{ctg}^2 x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$

Для нахождения области значений функции вида $a \sin x + b \cos x$ воспользуемся методом вспомогательного аргумента. Преобразуем выражение:

$y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$

В нашем случае $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Найдем коэффициент:

$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $2$ за скобки:

$y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$y = 2 \left( \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Область значений функции синус, $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, находится в промежутке $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений исходной функции $y$ будет $[-1 \cdot 2, 1 \cdot 2] = [-2, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2, 2]$.

б) $y = \frac{3}{1 + \tg^2 x}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставим это тождество в исходную функцию:

$y = \frac{3}{1/\cos^2 x} = 3\cos^2 x$

Теперь найдем область значений для $y = 3\cos^2 x$. Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Тогда область значений $\cos^2 x$ - это отрезок $[0, 1]$.

Однако, исходная функция содержит $\tg x$, который не определен, когда $\cos x = 0$. Следовательно, в области определения исходной функции $\cos x \neq 0$, и, соответственно, $\cos^2 x \neq 0$.

Таким образом, для нашей функции значения $\cos^2 x$ принадлежат полуинтервалу $(0, 1]$.

Умножив на 3, получим область значений для $y$: $(0 \cdot 3, 1 \cdot 3] = (0, 3]$.

Ответ: $E(y) = (0, 3]$.

в) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла в другой записи): $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

В нашем случае $2\alpha = 4x$, значит $\alpha = 2x$. Получаем:

$1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \sqrt{2\sin^2(2x)} = \sqrt{2} \sqrt{\sin^2(2x)} = \sqrt{2}|\sin(2x)|$

Область значений функции $\sin(2x)$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Для функции модуля синуса, $|\sin(2x)|$, область значений - это отрезок $[0, 1]$.

Умножая на $\sqrt{2}$, получаем область значений для $y$:

$[0 \cdot \sqrt{2}, 1 \cdot \sqrt{2}] = [0, \sqrt{2}]$

Ответ: $E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

г) $y = \frac{2}{1 + \ctg^2 x}$

Используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставим его в функцию:

$y = \frac{2}{1/\sin^2 x} = 2\sin^2 x$

Область значений $\sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений $\sin^2 x$ - это отрезок $[0, 1]$.

Однако, в исходной функции присутствует $\ctg x$, который не определен, когда $\sin x = 0$. Значит, из области определения исключаются точки, где $\sin x = 0$, и, соответственно, $\sin^2 x \neq 0$.

Поэтому значения $\sin^2 x$ для нашей функции принадлежат полуинтервалу $(0, 1]$.

Умножив на 2, находим область значений для $y$: $(0 \cdot 2, 1 \cdot 2] = (0, 2]$.

Ответ: $E(y) = (0, 2]$.