Номер 104, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 104, страница 62.

Условие.

Исследуйте функцию и постройте ее график (104–105).

104.—

a) $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}$;

б) $f(x) = -2 \sin 2x$;

в) $f(x) = -1,5 \cos 3x$;

г) $f(x) = 3 \sin \frac{x}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любых действительных чисел.

2. Область значений: Так как $-1 \le \cos \frac{x}{3} \le 1$, то умножая на $\frac{1}{2}$, получаем $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3} \le \frac{1}{2}$. Следовательно, область значений $E(f) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

3. Периодичность: Функция является периодической. Период косинуса $2\pi$. Для функции вида $y = A \cos(kx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{3}$, поэтому $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

4. Четность: Функция косинус — четная, т.е. $\cos(-z) = \cos(z)$. Проверим нашу функцию: $f(-x) = \frac{1}{2} \cos(\frac{-x}{3}) = \frac{1}{2} \cos(\frac{x}{3}) = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

5. Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{3} = 0 \implies \cos \frac{x}{3} = 0 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Экстремумы:
Максимумы функции равны $\frac{1}{2}$ и достигаются при $\cos \frac{x}{3} = 1 \implies \frac{x}{3} = 2\pi n \implies x = 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Минимумы функции равны $-\frac{1}{2}$ и достигаются при $\cos \frac{x}{3} = -1 \implies \frac{x}{3} = \pi + 2\pi n \implies x = 3\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Построение графика: График функции $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}$ получается из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований:
- Растяжение вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза (период увеличивается с $2\pi$ до $6\pi$).
- Сжатие вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза (амплитуда уменьшается с 1 до $\frac{1}{2}$).
Ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$: $(0, \frac{1}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(3\pi, -\frac{1}{2})$, $(\frac{9\pi}{2}, 0)$, $(6\pi, \frac{1}{2})$.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{3}$ — четная, периодическая с периодом $T=6\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$, область значений $E(f) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$. Нули функции при $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы в точках $x = 6\pi n$, минимумы в точках $x = 3\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

б) Исследуем функцию $f(x) = -2 \sin 2x$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Так как $-1 \le \sin 2x \le 1$, то умножая на $-2$ и меняя знаки неравенства, получаем $-2 \le -2 \sin 2x \le 2$. Следовательно, область значений $E(f) = [-2; 2]$.

3. Периодичность: Для функции вида $y = A \sin(kx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = 2$, поэтому $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Четность: Функция синус — нечетная, т.е. $\sin(-z) = -\sin(z)$. Проверим нашу функцию: $f(-x) = -2 \sin(2(-x)) = -2 \sin(-2x) = -2(-\sin(2x)) = 2 \sin(2x) = -f(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

5. Нули функции: $f(x) = 0 \implies -2 \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Экстремумы:
Максимумы функции равны $2$ и достигаются при $\sin 2x = -1$ (из-за множителя -2) $\implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Минимумы функции равны $-2$ и достигаются при $\sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Построение графика: График функции $f(x) = -2 \sin 2x$ получается из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований:
- Сжатие вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза (период уменьшается с $2\pi$ до $\pi$).
- Растяжение вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза (амплитуда увеличивается с 1 до 2).
- Симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox) из-за знака "минус".
Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -2)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, 2)$, $(\pi, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = -2 \sin 2x$ — нечетная, периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$, область значений $E(f) = [-2; 2]$. Нули функции при $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы в точках $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, минимумы в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

в) Исследуем функцию $f(x) = -1.5 \cos 3x$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Так как $-1 \le \cos 3x \le 1$, то $-1.5 \le -1.5 \cos 3x \le 1.5$. Следовательно, область значений $E(f) = [-1.5; 1.5]$.

3. Периодичность: Для функции вида $y = A \cos(kx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = 3$, поэтому $T = \frac{2\pi}{3}$.

4. Четность: $f(-x) = -1.5 \cos(3(-x)) = -1.5 \cos(3x) = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.

5. Нули функции: $f(x) = 0 \implies -1.5 \cos 3x = 0 \implies \cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Экстремумы:
Максимумы функции равны $1.5$ и достигаются при $\cos 3x = -1 \implies 3x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Минимумы функции равны $-1.5$ и достигаются при $\cos 3x = 1 \implies 3x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Построение графика: График функции $f(x) = -1.5 \cos 3x$ получается из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований:
- Сжатие вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза (период уменьшается с $2\pi$ до $\frac{2\pi}{3}$).
- Растяжение вдоль оси ординат (оси Oy) в 1.5 раза (амплитуда увеличивается с 1 до 1.5).
- Симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{2\pi}{3}]$: $(0, -1.5)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, 1.5)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, -1.5)$.

Ответ: Функция $f(x) = -1.5 \cos 3x$ — четная, периодическая с периодом $T=\frac{2\pi}{3}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$, область значений $E(f) = [-1.5; 1.5]$. Нули функции при $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы в точках $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, минимумы в точках $x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

г) Исследуем функцию $f(x) = 3 \sin \frac{x}{2}$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Так как $-1 \le \sin \frac{x}{2} \le 1$, то $-3 \le 3 \sin \frac{x}{2} \le 3$. Следовательно, область значений $E(f) = [-3; 3]$.

3. Периодичность: Для функции вида $y = A \sin(kx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$, поэтому $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

4. Четность: $f(-x) = 3 \sin(\frac{-x}{2}) = 3(-\sin(\frac{x}{2})) = -3 \sin(\frac{x}{2}) = -f(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

5. Нули функции: $f(x) = 0 \implies 3 \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Экстремумы:
Максимумы функции равны $3$ и достигаются при $\sin \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Минимумы функции равны $-3$ и достигаются при $\sin \frac{x}{2} = -1 \implies \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. Построение графика: График функции $f(x) = 3 \sin \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований:
- Растяжение вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза (период увеличивается с $2\pi$ до $4\pi$).
- Растяжение вдоль оси ординат (оси Oy) в 3 раза (амплитуда увеличивается с 1 до 3).
Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$: $(0, 0)$, $(\pi, 3)$, $(2\pi, 0)$, $(3\pi, -3)$, $(4\pi, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = 3 \sin \frac{x}{2}$ — нечетная, периодическая с периодом $T=4\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$, область значений $E(f) = [-3; 3]$. Нули функции при $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы в точках $x = \pi + 4\pi n$, минимумы в точках $x = -\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.