Номер 100, страница 61 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 100, страница 61.

№100 (с. 61)
Условие. №100 (с. 61)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 61, номер 100, Условие

100.— Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замените выражение равным ему значением той же тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $tg \frac{18\pi}{5}$, $sin \frac{28\pi}{3}$;

б) $cos \left(-\frac{15\pi}{8}\right)$, $ctg \left(-\frac{8\pi}{5}\right)$;

в) $sin \left(-\frac{14\pi}{5}\right)$, $tg \frac{15\pi}{8}$;

г) $cos \frac{20\pi}{7}$, $ctg \frac{35\pi}{9}$.

Решение 1. №100 (с. 61)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 61, номер 100, Решение 1
Решение 3. №100 (с. 61)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 61, номер 100, Решение 3
Решение 4. №100 (с. 61)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 61, номер 100, Решение 4
Решение 5. №100 (с. 61)

а)

Для выражения $\tg \frac{18\pi}{5}$:
Период функции тангенс равен $\pi$. Чтобы найти наименьший положительный аргумент, мы можем вычитать или прибавлять периоды. Выделим целое число периодов из аргумента: $$ \frac{18\pi}{5} = \frac{15\pi + 3\pi}{5} = 3\pi + \frac{3\pi}{5} $$ Используя свойство периодичности $\tg(x + k\pi) = \tg(x)$, где k — целое число, получаем: $$ \tg \frac{18\pi}{5} = \tg\left(3\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \tg \frac{3\pi}{5} $$ Аргумент $\frac{3\pi}{5}$ находится в интервале $(0, \pi)$ и является наименьшим положительным.

Ответ: $\tg \frac{3\pi}{5}$.

Для выражения $\sin \frac{28\pi}{3}$:
Период функции синус равен $2\pi$. Выделим целое число периодов из аргумента: $$ \frac{28\pi}{3} = \frac{24\pi + 4\pi}{3} = 8\pi + \frac{4\pi}{3} = 4 \cdot 2\pi + \frac{4\pi}{3} $$ Используя свойство периодичности $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$, получаем: $$ \sin \frac{28\pi}{3} = \sin\left(4 \cdot 2\pi + \frac{4\pi}{3}\right) = \sin \frac{4\pi}{3} $$ Теперь нужно убедиться, что $\frac{4\pi}{3}$ — это наименьший положительный аргумент. Для синуса также верно свойство $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Найдем все аргументы $\alpha$, для которых $\sin(\alpha) = \sin(\frac{4\pi}{3})$. Решениями являются $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ и $\alpha = \pi - \frac{4\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии — $\frac{4\pi}{3}$ (при $k=0$). Наименьшее положительное решение из второй серии — $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (при $k=1$). Сравнивая $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\sin \frac{4\pi}{3}$.

б)

Для выражения $\cos\left(-\frac{15\pi}{8}\right)$:
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. $$ \cos\left(-\frac{15\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{15\pi}{8}\right) $$ Теперь найдем наименьший положительный аргумент $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = \cos(\frac{15\pi}{8})$. Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$ или общие решения $\alpha = \pm x + 2k\pi$. Решениями являются $\alpha = \frac{15\pi}{8} + 2k\pi$ и $\alpha = -\frac{15\pi}{8} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии — $\frac{15\pi}{8}$ (при $k=0$). Наименьшее положительное решение из второй серии — $-\frac{15\pi}{8} + 2\pi = \frac{-15\pi + 16\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$ (при $k=1$). Сравнивая $\frac{15\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5}\right)$:
Период функции котангенс равен $\pi$. Приведем аргумент к наименьшему положительному значению, прибавляя целое число периодов: $$ -\frac{8\pi}{5} + 2\pi = \frac{-8\pi + 10\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} $$ Так как $0 < \frac{2\pi}{5} < \pi$, это и есть наименьший положительный аргумент. Таким образом: $$ \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5}\right) = \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5} + 2\pi\right) = \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{5}\right) $$

Ответ: $\text{ctg} \frac{2\pi}{5}$.

в)

Для выражения $\sin\left(-\frac{14\pi}{5}\right)$:
Период синуса равен $2\pi$. Приведем аргумент к наименьшему положительному значению: $$ -\frac{14\pi}{5} + 2 \cdot 2\pi = -\frac{14\pi}{5} + \frac{20\pi}{5} = \frac{6\pi}{5} $$ Таким образом, $\sin\left(-\frac{14\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)$. Проверим, является ли $\frac{6\pi}{5}$ наименьшим положительным аргументом. Решения уравнения $\sin(\alpha) = \sin(\frac{6\pi}{5})$: $\alpha = \frac{6\pi}{5} + 2k\pi$ и $\alpha = \pi - \frac{6\pi}{5} + 2k\pi = -\frac{\pi}{5} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии: $\frac{6\pi}{5}$. Наименьшее положительное решение из второй серии: $\frac{9\pi}{5}$. Следовательно, $\frac{6\pi}{5}$ является наименьшим положительным аргументом.

Ответ: $\sin \frac{6\pi}{5}$.

Для выражения $\tg \frac{15\pi}{8}$:
Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{15\pi}{8} = \frac{8\pi + 7\pi}{8} = \pi + \frac{7\pi}{8} $$ $$ \tg \frac{15\pi}{8} = \tg\left(\pi + \frac{7\pi}{8}\right) = \tg \frac{7\pi}{8} $$ Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому он является наименьшим положительным.

Ответ: $\tg \frac{7\pi}{8}$.

г)

Для выражения $\cos \frac{20\pi}{7}$:
Период косинуса равен $2\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{20\pi}{7} = \frac{14\pi + 6\pi}{7} = 2\pi + \frac{6\pi}{7} $$ $$ \cos \frac{20\pi}{7} = \cos\left(2\pi + \frac{6\pi}{7}\right) = \cos \frac{6\pi}{7} $$ Проверим, является ли $\frac{6\pi}{7}$ наименьшим положительным аргументом. Решения уравнения $\cos(\alpha) = \cos(\frac{6\pi}{7})$: $\alpha = \frac{6\pi}{7} + 2k\pi$ и $\alpha = -\frac{6\pi}{7} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии: $\frac{6\pi}{7}$. Наименьшее положительное решение из второй серии: $-\frac{6\pi}{7} + 2\pi = \frac{8\pi}{7}$. Сравнивая $\frac{6\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{7}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\cos \frac{6\pi}{7}$.

Для выражения $\text{ctg} \frac{35\pi}{9}$:
Период котангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{35\pi}{9} = \frac{27\pi + 8\pi}{9} = 3\pi + \frac{8\pi}{9} $$ $$ \text{ctg} \frac{35\pi}{9} = \text{ctg}\left(3\pi + \frac{8\pi}{9}\right) = \text{ctg} \frac{8\pi}{9} $$ Аргумент $\frac{8\pi}{9}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому он является наименьшим положительным.

Ответ: $\text{ctg} \frac{8\pi}{9}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 100 расположенного на странице 61 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №100 (с. 61), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.