Номер 100, страница 61 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 100, страница 61.

Условие.

100.— Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замените выражение равным ему значением той же тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $tg \frac{18\pi}{5}$, $sin \frac{28\pi}{3}$;

б) $cos \left(-\frac{15\pi}{8}\right)$, $ctg \left(-\frac{8\pi}{5}\right)$;

в) $sin \left(-\frac{14\pi}{5}\right)$, $tg \frac{15\pi}{8}$;

г) $cos \frac{20\pi}{7}$, $ctg \frac{35\pi}{9}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для выражения $\tg \frac{18\pi}{5}$:
Период функции тангенс равен $\pi$. Чтобы найти наименьший положительный аргумент, мы можем вычитать или прибавлять периоды. Выделим целое число периодов из аргумента: $$ \frac{18\pi}{5} = \frac{15\pi + 3\pi}{5} = 3\pi + \frac{3\pi}{5} $$ Используя свойство периодичности $\tg(x + k\pi) = \tg(x)$, где k — целое число, получаем: $$ \tg \frac{18\pi}{5} = \tg\left(3\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \tg \frac{3\pi}{5} $$ Аргумент $\frac{3\pi}{5}$ находится в интервале $(0, \pi)$ и является наименьшим положительным.

Ответ: $\tg \frac{3\pi}{5}$.

Для выражения $\sin \frac{28\pi}{3}$:
Период функции синус равен $2\pi$. Выделим целое число периодов из аргумента: $$ \frac{28\pi}{3} = \frac{24\pi + 4\pi}{3} = 8\pi + \frac{4\pi}{3} = 4 \cdot 2\pi + \frac{4\pi}{3} $$ Используя свойство периодичности $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$, получаем: $$ \sin \frac{28\pi}{3} = \sin\left(4 \cdot 2\pi + \frac{4\pi}{3}\right) = \sin \frac{4\pi}{3} $$ Теперь нужно убедиться, что $\frac{4\pi}{3}$ — это наименьший положительный аргумент. Для синуса также верно свойство $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Найдем все аргументы $\alpha$, для которых $\sin(\alpha) = \sin(\frac{4\pi}{3})$. Решениями являются $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ и $\alpha = \pi - \frac{4\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии — $\frac{4\pi}{3}$ (при $k=0$). Наименьшее положительное решение из второй серии — $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (при $k=1$). Сравнивая $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\sin \frac{4\pi}{3}$.

б)

Для выражения $\cos\left(-\frac{15\pi}{8}\right)$:
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. $$ \cos\left(-\frac{15\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{15\pi}{8}\right) $$ Теперь найдем наименьший положительный аргумент $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = \cos(\frac{15\pi}{8})$. Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$ или общие решения $\alpha = \pm x + 2k\pi$. Решениями являются $\alpha = \frac{15\pi}{8} + 2k\pi$ и $\alpha = -\frac{15\pi}{8} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии — $\frac{15\pi}{8}$ (при $k=0$). Наименьшее положительное решение из второй серии — $-\frac{15\pi}{8} + 2\pi = \frac{-15\pi + 16\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$ (при $k=1$). Сравнивая $\frac{15\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{8}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5}\right)$:
Период функции котангенс равен $\pi$. Приведем аргумент к наименьшему положительному значению, прибавляя целое число периодов: $$ -\frac{8\pi}{5} + 2\pi = \frac{-8\pi + 10\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} $$ Так как $0 < \frac{2\pi}{5} < \pi$, это и есть наименьший положительный аргумент. Таким образом: $$ \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5}\right) = \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{5} + 2\pi\right) = \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{5}\right) $$

Ответ: $\text{ctg} \frac{2\pi}{5}$.

в)

Для выражения $\sin\left(-\frac{14\pi}{5}\right)$:
Период синуса равен $2\pi$. Приведем аргумент к наименьшему положительному значению: $$ -\frac{14\pi}{5} + 2 \cdot 2\pi = -\frac{14\pi}{5} + \frac{20\pi}{5} = \frac{6\pi}{5} $$ Таким образом, $\sin\left(-\frac{14\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)$. Проверим, является ли $\frac{6\pi}{5}$ наименьшим положительным аргументом. Решения уравнения $\sin(\alpha) = \sin(\frac{6\pi}{5})$: $\alpha = \frac{6\pi}{5} + 2k\pi$ и $\alpha = \pi - \frac{6\pi}{5} + 2k\pi = -\frac{\pi}{5} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии: $\frac{6\pi}{5}$. Наименьшее положительное решение из второй серии: $\frac{9\pi}{5}$. Следовательно, $\frac{6\pi}{5}$ является наименьшим положительным аргументом.

Ответ: $\sin \frac{6\pi}{5}$.

Для выражения $\tg \frac{15\pi}{8}$:
Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{15\pi}{8} = \frac{8\pi + 7\pi}{8} = \pi + \frac{7\pi}{8} $$ $$ \tg \frac{15\pi}{8} = \tg\left(\pi + \frac{7\pi}{8}\right) = \tg \frac{7\pi}{8} $$ Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому он является наименьшим положительным.

Ответ: $\tg \frac{7\pi}{8}$.

г)

Для выражения $\cos \frac{20\pi}{7}$:
Период косинуса равен $2\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{20\pi}{7} = \frac{14\pi + 6\pi}{7} = 2\pi + \frac{6\pi}{7} $$ $$ \cos \frac{20\pi}{7} = \cos\left(2\pi + \frac{6\pi}{7}\right) = \cos \frac{6\pi}{7} $$ Проверим, является ли $\frac{6\pi}{7}$ наименьшим положительным аргументом. Решения уравнения $\cos(\alpha) = \cos(\frac{6\pi}{7})$: $\alpha = \frac{6\pi}{7} + 2k\pi$ и $\alpha = -\frac{6\pi}{7} + 2k\pi$. Наименьшее положительное решение из первой серии: $\frac{6\pi}{7}$. Наименьшее положительное решение из второй серии: $-\frac{6\pi}{7} + 2\pi = \frac{8\pi}{7}$. Сравнивая $\frac{6\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{7}$, выбираем наименьшее.

Ответ: $\cos \frac{6\pi}{7}$.

Для выражения $\text{ctg} \frac{35\pi}{9}$:
Период котангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов: $$ \frac{35\pi}{9} = \frac{27\pi + 8\pi}{9} = 3\pi + \frac{8\pi}{9} $$ $$ \text{ctg} \frac{35\pi}{9} = \text{ctg}\left(3\pi + \frac{8\pi}{9}\right) = \text{ctg} \frac{8\pi}{9} $$ Аргумент $\frac{8\pi}{9}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому он является наименьшим положительным.

Ответ: $\text{ctg} \frac{8\pi}{9}$.