Номер 106, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 106, страница 62.

Условие.

106. Координата движущегося тела (измеренная в сантиметрах) изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, период, частоту колебания. Вычислите координату тела в момент времени $t_1$, если:

а) $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$, $t_1 = \frac{1}{12} \text{ c}$;

б) $x(t) = 5 \cos \left(3\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$, $t_1 = 4,5 \text{ c}$;

в) $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$, $t_1 = 1\frac{1}{3} \text{ c}$;

г) $x(t) = 0,5 \cos \left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$, $t_1 = 8 \text{ c}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся общим уравнением гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза. Период $T$ и частота $\nu$ связаны с циклической частотой соотношениями: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ и $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$.

а) $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$, $t_1 = \frac{1}{12}$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 3,5 \cos 4\pi t$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 3,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 4\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} = 0,5$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,5} = 2$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = \frac{1}{12}$ с:
$x(\frac{1}{12}) = 3,5 \cos(4\pi \cdot \frac{1}{12}) = 3,5 \cos(\frac{\pi}{3}) = 3,5 \cdot \frac{1}{2} = 1,75$ см.

Ответ: амплитуда $A=3,5$ см, период $T=0,5$ с, частота $\nu=2$ Гц, координата $x(\frac{1}{12})=1,75$ см.

б) $x(t) = 5 \cos \left(3\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$, $t_1 = 4,5$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 5 \cos(3\pi t + \frac{\pi}{6})$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 3\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1,5$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 4,5$ с:
$x(4,5) = 5 \cos(3\pi \cdot 4,5 + \frac{\pi}{6}) = 5 \cos(13,5\pi + \frac{\pi}{6}) = 5 \cos(\frac{27\pi}{2} + \frac{\pi}{6})$.
Используя периодичность косинуса ($13,5\pi = 12\pi + 1,5\pi$) и формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:
$x(4,5) = 5 \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = 5 \sin(\frac{\pi}{6}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ см.

Ответ: амплитуда $A=5$ см, период $T=\frac{2}{3}$ с, частота $\nu=1,5$ Гц, координата $x(4,5)=2,5$ см.

в) $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$, $t_1 = 1\frac{1}{3}$ с;

Сравнивая уравнение $x(t) = 1,5 \cos 6\pi t$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 1,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = 6\pi$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3}$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/3} = 3$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ с:
$x(\frac{4}{3}) = 1,5 \cos(6\pi \cdot \frac{4}{3}) = 1,5 \cos(8\pi)$.
Так как $8\pi$ является целым числом периодов ($4 \cdot 2\pi$), то $\cos(8\pi) = \cos(0) = 1$.
$x(\frac{4}{3}) = 1,5 \cdot 1 = 1,5$ см.

Ответ: амплитуда $A=1,5$ см, период $T=\frac{1}{3}$ с, частота $\nu=3$ Гц, координата $x(1\frac{1}{3})=1,5$ см.

г) $x(t) = 0,5 \cos \left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$, $t_1 = 8$ с.

Сравнивая уравнение $x(t) = 0,5 \cos(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{3})$ с общей формулой, находим:
- Амплитуда $A = 0,5$ см.
- Циклическая частота $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Вычисляем период и частоту колебаний:
- Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ с.
- Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0,25$ Гц.

Вычисляем координату тела в момент времени $t_1 = 8$ с:
$x(8) = 0,5 \cos(\frac{\pi \cdot 8}{2} + \frac{\pi}{3}) = 0,5 \cos(4\pi + \frac{\pi}{3})$.
Используя периодичность косинуса, $\cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$x(8) = 0,5 \cdot \frac{1}{2} = 0,25$ см.

Ответ: амплитуда $A=0,5$ см, период $T=4$ с, частота $\nu=0,25$ Гц, координата $x(8)=0,25$ см.