Номер 108, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 108, страница 62.

Условие.

108.- Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если оно изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах, время — в секундах):

а) $U (t) = 220 \cos 60\pi t;$

б) $U (t) = 110 \cos 30\pi t;$

в) $U (t) = 360 \cos 20\pi t;$

г) $U (t) = 180 \cos 45\pi t.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения амплитуды, периода и частоты напряжения, изменяющегося по гармоническому закону, воспользуемся его общей формулой:

$U(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где:

• $U(t)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t$,
• $U_m$ — амплитуда напряжения, то есть его максимальное значение (в вольтах, В),
• $\omega$ — циклическая (угловая) частота (в радианах в секунду, рад/с),
• $t$ — время (в секундах, с),
• $\phi_0$ — начальная фаза колебаний (в данных задачах она равна нулю).

Амплитуда $U_m$ — это коэффициент, стоящий перед функцией косинуса.

Период колебаний $T$ — это время, за которое совершается одно полное колебание. Он связан с циклической частотой $\omega$ формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Частота колебаний $\nu$ — это количество колебаний в единицу времени (в герцах, Гц). Она является величиной, обратной периоду, и вычисляется по формуле:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

Применим эти формулы для каждого случая.

а) $U(t) = 220 \cos(60\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 220$ В.
Циклическая частота: $\omega = 60\pi$ рад/с.

Теперь вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{60\pi} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/30} = 30$ Гц.

Ответ: амплитуда 220 В, период $\frac{1}{30}$ с, частота 30 Гц.

б) $U(t) = 110 \cos(30\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 110$ В.
Циклическая частота: $\omega = 30\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{30\pi} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/15} = 15$ Гц.

Ответ: амплитуда 110 В, период $\frac{1}{15}$ с, частота 15 Гц.

в) $U(t) = 360 \cos(20\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 360$ В.
Циклическая частота: $\omega = 20\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1/10} = 10$ Гц.

Ответ: амплитуда 360 В, период $\frac{1}{10}$ с, частота 10 Гц.

г) $U(t) = 180 \cos(45\pi t)$

Из уравнения находим амплитуду и циклическую частоту:

Амплитуда: $U_m = 180$ В.
Циклическая частота: $\omega = 45\pi$ рад/с.

Вычислим период и частоту:

Период: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{45\pi} = \frac{2}{45}$ с.
Частота: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/45} = \frac{45}{2} = 22,5$ Гц.

Ответ: амплитуда 180 В, период $\frac{2}{45}$ с, частота 22,5 Гц.