Номер 101, страница 61 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 101, страница 61.

Условие.

101. Найдите область определения и область значений функции:

a) $f(x) = 3 \cos 2x - 1$;

б) $f(x) = 2 - \text{ctg } 3x$;

в) $f(x) = 2 \text{ tg } \frac{x}{2}$;

г) $f(x) = 1 + 0.5 \sin \frac{x}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = 3 \cos 2x - 1$

Область определения (D(f)):
Функция косинуса, $\cos(u)$, определена для любого действительного значения аргумента $u$. В данном случае аргумент $2x$ также определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = \mathbb{R}$ или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции косинуса находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \cos 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$3 \cdot (-1) \le 3 \cos 2x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3 \cos 2x \le 3$.
Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-3 - 1 \le 3 \cos 2x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le 3 \cos 2x - 1 \le 2$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[-4, 2]$.
$E(f) = [-4; 2]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$; Область значений: $E(f) = [-4; 2]$.

б) $f(x) = 2 - \ctg 3x$

Область определения (D(f)):
Функция котангенса, $\ctg(u) = \frac{\cos u}{\sin u}$, не определена в точках, где знаменатель $\sin u$ равен нулю.
$\sin u = 0$ при $u = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
В нашем случае аргумент $u = 3x$. Значит, функция не определена при:
$3x = \pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi k}{3}$.
$D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции котангенса, $\ctg(u)$, — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Выражение $-\ctg 3x$ также принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Прибавление константы (в данном случае 2) сдвигает график функции по вертикали, но не изменяет ее область значений.
Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(f) = \mathbb{R}$ или $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$.

в) $f(x) = 2 \tg \frac{x}{2}$

Область определения (D(f)):
Функция тангенса, $\tg(u) = \frac{\sin u}{\cos u}$, не определена в точках, где знаменатель $\cos u$ равен нулю.
$\cos u = 0$ при $u = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае аргумент $u = \frac{x}{2}$. Значит, функция не определена при:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на 2:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $x = \pi + 2\pi k$.
$D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции тангенса, $\tg(u)$, — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Умножение функции на константу (в данном случае 2) растягивает график по вертикали, но не изменяет ее область значений.
Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(f) = \mathbb{R}$ или $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$.

г) $f(x) = 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2}$

Область определения (D(f)):
Функция синуса, $\sin(u)$, определена для любого действительного значения аргумента $u$. В данном случае аргумент $\frac{x}{2}$ также определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = \mathbb{R}$ или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции синуса находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \sin \frac{x}{2} \le 1$.
Умножим все части неравенства на 0,5:
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 0,5$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 0,5 \le 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 1 + 0,5$
$0,5 \le 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 1,5$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[0,5; 1,5]$.
$E(f) = [0,5; 1,5]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$; Область значений: $E(f) = [0,5; 1,5]$.