Страница 61 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

100.— Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замените выражение равным ему значением той же тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $tg \frac{18\pi}{5}$, $sin \frac{28\pi}{3}$;

б) $cos \left(-\frac{15\pi}{8}\right)$, $ctg \left(-\frac{8\pi}{5}\right)$;

в) $sin \left(-\frac{14\pi}{5}\right)$, $tg \frac{15\pi}{8}$;

г) $cos \frac{20\pi}{7}$, $ctg \frac{35\pi}{9}$.

101. Найдите область определения и область значений функции:

a) $f(x) = 3 \cos 2x - 1$;

б) $f(x) = 2 - \text{ctg } 3x$;

в) $f(x) = 2 \text{ tg } \frac{x}{2}$;

г) $f(x) = 1 + 0.5 \sin \frac{x}{2}$.

а) $f(x) = 3 \cos 2x - 1$

Область определения (D(f)):
Функция косинуса, $\cos(u)$, определена для любого действительного значения аргумента $u$. В данном случае аргумент $2x$ также определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = \mathbb{R}$ или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции косинуса находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \cos 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$3 \cdot (-1) \le 3 \cos 2x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3 \cos 2x \le 3$.
Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-3 - 1 \le 3 \cos 2x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le 3 \cos 2x - 1 \le 2$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[-4, 2]$.
$E(f) = [-4; 2]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$; Область значений: $E(f) = [-4; 2]$.

б) $f(x) = 2 - \ctg 3x$

Область определения (D(f)):
Функция котангенса, $\ctg(u) = \frac{\cos u}{\sin u}$, не определена в точках, где знаменатель $\sin u$ равен нулю.
$\sin u = 0$ при $u = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
В нашем случае аргумент $u = 3x$. Значит, функция не определена при:
$3x = \pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi k}{3}$.
$D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции котангенса, $\ctg(u)$, — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Выражение $-\ctg 3x$ также принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Прибавление константы (в данном случае 2) сдвигает график функции по вертикали, но не изменяет ее область значений.
Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(f) = \mathbb{R}$ или $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$.

в) $f(x) = 2 \tg \frac{x}{2}$

Область определения (D(f)):
Функция тангенса, $\tg(u) = \frac{\sin u}{\cos u}$, не определена в точках, где знаменатель $\cos u$ равен нулю.
$\cos u = 0$ при $u = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае аргумент $u = \frac{x}{2}$. Значит, функция не определена при:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на 2:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $x = \pi + 2\pi k$.
$D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции тангенса, $\tg(u)$, — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Умножение функции на константу (в данном случае 2) растягивает график по вертикали, но не изменяет ее область значений.
Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(f) = \mathbb{R}$ или $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$.

г) $f(x) = 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2}$

Область определения (D(f)):
Функция синуса, $\sin(u)$, определена для любого действительного значения аргумента $u$. В данном случае аргумент $\frac{x}{2}$ также определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = \mathbb{R}$ или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(f)):
Область значений функции синуса находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \sin \frac{x}{2} \le 1$.
Умножим все части неравенства на 0,5:
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 0,5$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 0,5 \le 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 1 + 0,5$
$0,5 \le 1 + 0,5 \sin \frac{x}{2} \le 1,5$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[0,5; 1,5]$.
$E(f) = [0,5; 1,5]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$; Область значений: $E(f) = [0,5; 1,5]$.

102. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:

a) $f(x) = -\sin 3 x$;

б) $f(x) = \tan \frac{2 x}{3}$;

в) $f(x) = \cos \frac{x}{2}$;

г) $f(x) = \cot 2x$.

а) $f(x) = -\sin{3x}$

1. Нули функции.
Найдём значения $x$, при которых $f(x) = 0$. $-\sin{3x} = 0 \implies \sin{3x} = 0$. Аргумент синуса должен быть равен $\pi k$, где $k$ — любое целое число. $3x = \pi k$, $k \in Z$. $x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.

2. Промежутки знакопостоянства.
Функция определена для всех действительных чисел. Найдём промежутки, где $f(x) > 0$. $-\sin{3x} > 0 \implies \sin{3x} < 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. $\pi + 2\pi n < 3x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Разделив на 3, получаем: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) < 0$. $-\sin{3x} < 0 \implies \sin{3x} > 0$. Синус положителен в I и II четвертях. $2\pi n < 3x < \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Разделив на 3, получаем: $\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in Z$.

Ответ: нули функции: $x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$;
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$, $n \in Z$;
$f(x) < 0$ при $x \in (\frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$, $n \in Z$.

б) $f(x) = \operatorname{tg}\frac{2x}{3}$

1. Нули функции.
$\operatorname{tg}\frac{2x}{3} = 0$. Аргумент тангенса должен быть равен $\pi k$, где $k \in Z$. $\frac{2x}{3} = \pi k$. $x = \frac{3\pi k}{2}$, $k \in Z$.

2. Промежутки знакопостоянства.
Область определения тангенса: его аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$. $\frac{2x}{3} \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \ne \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) > 0$. $\operatorname{tg}\frac{2x}{3} > 0$. Тангенс положителен в I и III четвертях. $\pi n < \frac{2x}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Умножив на $\frac{3}{2}$, получаем: $\frac{3\pi n}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) < 0$. $\operatorname{tg}\frac{2x}{3} < 0$. Тангенс отрицателен в II и IV четвертях. $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{2x}{3} < \pi n$, где $n \in Z$. Умножив на $\frac{3}{2}$, получаем: $-\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2} < x < \frac{3\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Ответ: нули функции: $x = \frac{3\pi k}{2}$, $k \in Z$;
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{3\pi n}{2}, \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2})$, $n \in Z$;
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}, \frac{3\pi n}{2})$, $n \in Z$.

в) $f(x) = \cos\frac{x}{2}$

1. Нули функции.
$\cos\frac{x}{2} = 0$. Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$. $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$. $x = \pi + 2\pi k$, $k \in Z$.

2. Промежутки знакопостоянства.
Функция определена для всех действительных чисел. Найдём промежутки, где $f(x) > 0$. $\cos\frac{x}{2} > 0$. Косинус положителен в I и IV четвертях. $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Умножив на 2, получаем: $-\pi + 4\pi n < x < \pi + 4\pi n$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) < 0$. $\cos\frac{x}{2} < 0$. Косинус отрицателен в II и III четвертях. $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Умножив на 2, получаем: $\pi + 4\pi n < x < 3\pi + 4\pi n$, $n \in Z$.

Ответ: нули функции: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in Z$;
$f(x) > 0$ при $x \in (-\pi + 4\pi n, \pi + 4\pi n)$, $n \in Z$;
$f(x) < 0$ при $x \in (\pi + 4\pi n, 3\pi + 4\pi n)$, $n \in Z$.

г) $f(x) = \operatorname{ctg}2x$

1. Нули функции.
$\operatorname{ctg}2x = 0$. Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$. $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

2. Промежутки знакопостоянства.
Область определения котангенса: его аргумент не должен быть равен $\pi n$, $n \in Z$. $2x \ne \pi n \implies x \ne \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) > 0$. $\operatorname{ctg}2x > 0$. Котангенс положителен в I и III четвертях. $\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$. Найдём промежутки, где $f(x) < 0$. $\operatorname{ctg}2x < 0$. Котангенс отрицателен в II и IV четвертях. $\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < \pi + \pi n$, где $n \in Z$. Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Ответ: нули функции: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$;
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in Z$;
$f(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in Z$.

103. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции:

а) $f(x) = 4 \cos 3x;$

б) $f(x) = 0,5 \operatorname{ctg} \frac{x}{4};$

в) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2};$

г) $f(x) = 0,2 \sin 4x.$

а) $f(x) = 4 \cos 3x$

1. Находим область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$f'(x) = (4 \cos 3x)' = 4 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' = -12 \sin 3x$.

3. Находим критические точки. Для этого решаем уравнение $f'(x) = 0$.
$-12 \sin 3x = 0$
$\sin 3x = 0$
$3x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем промежутки монотонности. Знак производной $f'(x) = -12 \sin 3x$ противоположен знаку $\sin 3x$.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $\sin 3x < 0$. Это неравенство выполняется при $3x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $\sin 3x > 0$. Это неравенство выполняется при $3x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$.

5. Определяем точки экстремума.
- В точках $x = \frac{2\pi n}{3}$ производная меняет знак с «+» на «−» (функция переходит от возрастания к убыванию), следовательно, это точки максимума.
- В точках $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$ производная меняет знак с «−» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию), следовательно, это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $f(x) = 0,5 \ctg \frac{x}{4}$

1. Находим область определения. Котангенс не определен, когда его аргумент равен $n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{4} \neq n\pi \Rightarrow x \neq 4n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$D(f): x \in \mathbb{R} \setminus \{4n\pi | n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Находим производную функции.
$f'(x) = (0,5 \ctg \frac{x}{4})' = 0,5 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{4})}) \cdot (\frac{x}{4})' = -0,5 \cdot \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{4})} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{0,125}{\sin^2(\frac{x}{4})}$.

3. Анализируем знак производной.
Выражение $\sin^2(\frac{x}{4})$ всегда положительно в области определения функции. Числитель -0,125 - отрицательное число. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Производная нигде не равна нулю и существует во всей области определения функции, поэтому критических точек нет.

4. Делаем вывод.
Так как производная всегда отрицательна, функция убывает на всей своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ:
Промежутки возрастания: нет.
Промежутки убывания: на каждом из интервалов $(4n\pi, 4(n+1)\pi)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: нет.
Точки минимума: нет.

в) $f(x) = 2 \tg \frac{x}{2}$

1. Находим область определения. Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \Rightarrow x \neq \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$D(f): x \in \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2n\pi | n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Находим производную функции.
$f'(x) = (2 \tg \frac{x}{2})' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot (\frac{x}{2})' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}$.

3. Анализируем знак производной.
Выражение $\cos^2(\frac{x}{2})$ всегда положительно в области определения функции. Числитель 1 - положительное число. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Производная нигде не равна нулю и существует во всей области определения функции, поэтому критических точек нет.

4. Делаем вывод.
Так как производная всегда положительна, функция возрастает на всей своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ:
Промежутки возрастания: на каждом из интервалов $(-\pi + 2n\pi, \pi + 2n\pi)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: нет.
Точки максимума: нет.
Точки минимума: нет.

г) $f(x) = 0,2 \sin 4x$

1. Находим область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$f'(x) = (0,2 \sin 4x)' = 0,2 \cdot \cos 4x \cdot (4x)' = 0,8 \cos 4x$.

3. Находим критические точки. Для этого решаем уравнение $f'(x) = 0$.
$0,8 \cos 4x = 0$
$\cos 4x = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем промежутки монотонности. Знак производной $f'(x) = 0,8 \cos 4x$ совпадает со знаком $\cos 4x$.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $\cos 4x > 0$. Это неравенство выполняется при $4x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, откуда $x \in (-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2})$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $\cos 4x < 0$. Это неравенство выполняется при $4x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2})$.

5. Определяем точки экстремума.
- В точках $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точки максимума.
- В точках $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.