Страница 55 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

98. —

a) $f(x) = x^4 + 4x^2$

б) $f(x) = 1 - \sqrt{x+4}$

в) $f(x) = x^3 + x$

г) $f(x) = \sqrt{x-2} - 2$

а) Дана функция $f(x) = x^4 + 4x^2$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим функцию на четность, для этого найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^4 + 4(-x)^2 = x^4 + 4x^2$.
Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: функция четная.

б) Дана функция $f(x) = 1 - \sqrt{x+4}$. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Область определения $D(f) = [-4; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=5$ принадлежит области определения, а точка $x=-5$ — нет. Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

в) Дана функция $f(x) = x^3 + x$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим функцию на четность, для этого найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{x-2} - 2$. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения $D(f) = [2; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=3$ принадлежит области определения, а точка $x=-3$ — нет. Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

99. a) $f(x) = x^2 - 2|x| + 1;$

б) $f(x) = \frac{x+1}{x-1};$

в) $f(x) = |x| - x^2;$

г) $f(x) = \frac{2x+1}{x}.$

а) $f(x) = x^2 - 2|x| + 1$

Для исследования функции на четность, необходимо найти ее значение для аргумента $-x$ и сравнить его с $f(x)$ и $-f(x)$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, что является симметричным множеством относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| + 1$

Учитывая свойства четной степени и модуля, а именно $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = x^2 - 2|x| + 1$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.

Ответ: функция является четной.

б) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

Для того чтобы функция была четной или нечетной, ее область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, в то время как симметричная ей точка $x = 1$ не принадлежит.

Так как область определения несимметрична, функция не может быть ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

в) $f(x) = |x| - x^2$

Проверим функцию на четность, следуя стандартному алгоритму.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |-x| - (-x)^2$

Используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и четной степени $(-x)^2 = x^2$, преобразуем выражение:

$f(-x) = |x| - x^2$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

г) $f(x) = \frac{2x+1}{x}$

Исследуем данную функцию на четность.

Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{2(-x)+1}{-x} = \frac{-2x+1}{-x} = \frac{-(2x-1)}{-x} = \frac{2x-1}{x}$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = \frac{2x-1}{x}$, а $f(x) = \frac{2x+1}{x}$. Так как $\frac{2x-1}{x} \neq \frac{2x+1}{x}$ для всех $x$ из области определения, функция не является четной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = - \left(\frac{2x+1}{x}\right) = \frac{-2x-1}{x}$.

Так как $f(-x) = \frac{2x-1}{x} \neq \frac{-2x-1}{x} = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (равенство $2x-1 = -2x-1$ выполняется только при $4x=0$, то есть $x=0$, что не входит в область определения), функция не является нечетной.

Поскольку не выполняется ни условие четности, ни условие нечетности, функция является функцией общего вида.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).