gdz.top
Страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Cтраница 48
Страница 47
№88 (с. 48)
Условие. №88 (с. 48)
Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции (88–89).
88.—
a) $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$;
б) $y = 4 |x| - x^2$;
в) $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$;
г) $y = x^2 - 2 |x|$.
Решение 1. №88 (с. 48)
Решение 3. №88 (с. 48)
Решение 5. №88 (с. 48)
Дана функция $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $(x-2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Найдем производную функции. Перепишем функцию в виде $y = (x-2)^{-2} + 1$.
$y' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = -2(x-2)^{-3} = \frac{-2}{(x-2)^3}$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$. Уравнение $\frac{-2}{(x-2)^3} = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции. Однако, эта точка разбивает область определения на интервалы, на которых производная сохраняет свой знак.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
При $x < 2$, например, $x=0$, имеем $y'(0) = \frac{-2}{(0-2)^3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 2)$ функция возрастает.
При $x > 2$, например, $x=3$, имеем $y'(3) = \frac{-2}{(3-2)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Следовательно, на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает.
5. Точек экстремума у функции нет, так как точка $x=2$, в которой меняется знак производной, является точкой разрыва (вертикальная асимптота) и не принадлежит области определения функции.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$, убывает на промежутке $(2; +\infty)$; точек экстремума и экстремумов нет.
Дана функция $y = 4|x| - x^2$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Если $x \ge 0$, то $|x|=x$ и $y = 4x - x^2$. Производная $y' = 4 - 2x$.
Если $x < 0$, то $|x|=-x$ и $y = -4x - x^2$. Производная $y' = -4 - 2x$.
В точке $x=0$ функция непрерывна, но производная не определена (угловая точка), так как правая производная $y'(0+) = 4$, а левая $y'(0-) = -4$.
3. Найдем критические точки. Точка $x=0$ является критической. Найдем другие точки, приравняв производные к нулю:
Для $x > 0$: $4 - 2x = 0 \implies x = 2$.
Для $x < 0$: $-4 - 2x = 0 \implies x = -2$.
Таким образом, критические точки: $x=-2, x=0, x=2$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.
На $(-\infty; -2)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-3$, $y'(-3) = -4 - 2(-3) = 2 > 0$. Функция возрастает.
На $(-2; 0)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-1$, $y'(-1) = -4 - 2(-1) = -2 < 0$. Функция убывает.
На $(0; 2)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=1$, $y'(1) = 4 - 2(1) = 2 > 0$. Функция возрастает.
На $(2; +\infty)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=3$, $y'(3) = 4 - 2(3) = -2 < 0$. Функция убывает.
5. Определим точки экстремума и экстремумы.
В точке $x=-2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = 4|-2| - (-2)^2 = 8 - 4 = 4$.
В точке $x=0$ знак производной меняется с `-` на `+`, значит это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 4|0| - 0^2 = 0$.
В точке $x=2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(2) = 4|2| - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$; точки максимума $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 2$, максимум функции $y_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 0$, минимум функции $y_{min} = 0$.
Дана функция $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$.
1. Область определения функции: $(x+1)^3 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
2. Найдем производную. Перепишем функцию: $y = (x+1)^{-3} - 2$.
$y' = -3(x+1)^{-4} \cdot (x+1)' = -3(x+1)^{-4} = \frac{-3}{(x+1)^4}$.
3. Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения.
4. Определим знак производной. Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен для любого $x \neq -1$. Числитель равен $-3$ (отрицателен). Следовательно, производная $y'$ всегда отрицательна на всей области определения.
5. Так как производная $y' < 0$ на обоих интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$, функция является убывающей на всей своей области определения. Точек экстремума у функции нет.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; промежутков возрастания, точек экстремума и экстремумов нет.
Дана функция $y = x^2 - 2|x|$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Раскроем модуль:
Если $x \ge 0$, то $y = x^2 - 2x$. Производная $y' = 2x - 2$.
Если $x < 0$, то $y = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Производная $y' = 2x + 2$.
В точке $x=0$ производная не определена (левая производная $y'(0-)=2$, правая $y'(0+)=-2$).
3. Найдем критические точки. $x=0$ — критическая точка. Другие точки найдем из условия $y'=0$:
Для $x > 0$: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
Для $x < 0$: $2x + 2 = 0 \implies x = -1$.
Критические точки: $x=-1, x=0, x=1$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
На $(-\infty; -1)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-2$, $y'(-2) = 2(-2)+2 = -2 < 0$. Функция убывает.
На $(-1; 0)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 2(-0.5)+2 = 1 > 0$. Функция возрастает.
На $(0; 1)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=0.5$, $y'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 < 0$. Функция убывает.
На $(1; +\infty)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=2$, $y'(2) = 2(2)-2 = 2 > 0$. Функция возрастает.
5. Определим точки экстремума и экстремумы.
В точке $x=-1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^2 - 2|-1| = 1 - 2 = -1$.
В точке $x=0$ знак производной меняется с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^2 - 2|0| = 0$.
В точке $x=1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^2 - 2|1| = 1 - 2 = -1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$, минимум функции $y_{min} = -1$.
№89 (с. 48)
Условие. №89 (с. 48)
89.—
а) $y = \cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right);$
б) $y = 1-\sin \left( x-\frac{\pi}{3} \right);$
в) $y = \sin \left( x+\frac{\pi}{6} \right);$
г) $y = 2+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right).$
Решение 1. №89 (с. 48)
Решение 3. №89 (с. 48)
Решение 5. №89 (с. 48)
а) $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
График данной функции можно получить из графика основной тригонометрической функции $y = \cos(x)$ с помощью преобразования сдвига. Аргумент функции $x + \frac{\pi}{4}$ можно записать в виде $x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Это соответствует горизонтальному сдвигу (фазовому сдвигу) графика функции $y = \cos(x)$ влево вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{4}$ единиц.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для всех действительных чисел.
- Область значений: $E(y) = [-1, 1]$. Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений функции.
- Основной период: $T = 2\pi$. Сдвиг не изменяет период функции.
Ответ: График функции $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем сдвига влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$.
б) $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью последовательности преобразований. Функцию можно представить в виде $y = -\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + 1$.
Порядок преобразований для построения графика:
- Построить график функции $y = \sin(x)$.
- Сдвинуть его вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц, чтобы получить график $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
- Отразить полученный график симметрично относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
- Сдвинуть последний график вверх вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу, чтобы получить итоговый график $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Для $y=\sin(x)$ область значений — $[-1, 1]$. После отражения относительно оси $Ox$ она остается $[-1, 1]$. После сдвига вверх на 1, область значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.
- Основной период: $T = 2\pi$, так как ни одно из выполненных преобразований не влияет на период.
Ответ: График функции $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$, симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига вверх на 1 единицу.
в) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
График этой функции получается из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью горизонтального сдвига. Аргумент функции $x + \frac{\pi}{6}$ можно записать как $x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$. Это означает, что для получения искомого графика необходимо сдвинуть график $y = \sin(x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [-1, 1]$.
- Основной период: $T = 2\pi$.
Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$.
г) $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ путем выполнения двух преобразований: горизонтального и вертикального сдвигов.
Порядок преобразований для построения графика:
- Построить график функции $y = \cos(x)$.
- Сдвинуть его вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц (из-за члена $x-\frac{\pi}{3}$), получив график $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
- Сдвинуть полученный график вверх вдоль оси $Oy$ на 2 единицы, получив итоговый график $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Исходная область значений для $y=\cos(x)$ — $[-1, 1]$. Горизонтальный сдвиг ее не меняет. Вертикальный сдвиг на 2 единицы вверх смещает область значений до $[-1+2, 1+2]$, то есть $E(y) = [1, 3]$.
- Основной период: $T = 2\pi$.
Ответ: График функции $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вверх на 2.
№90 (с. 48)
Условие. №90 (с. 48)
90.— Расположите числа в порядке возрастания:
a) $cos \frac{25\pi}{9}$, $sin \frac{4\pi}{5}$, $cos \frac{4\pi}{9}$, $cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right)$;
б) $tg \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$, $tg \frac{3\pi}{8}$, $ctg \frac{15\pi}{8}$, $tg \left(-\frac{7\pi}{16}\right)$;
в) $ctg \frac{9\pi}{10}$, $ctg \frac{12\pi}{5}$, $tg \frac{6\pi}{5}$, $ctg \frac{7\pi}{15}$;
г) $sin \left(-\frac{5\pi}{12}\right)$, $cos \frac{13\pi}{24}$, $sin \frac{5\pi}{24}$, $sin \frac{17\pi}{6}$.
Решение 1. №90 (с. 48)
Решение 3. №90 (с. 48)
Решение 5. №90 (с. 48)
а) Расположим в порядке возрастания числа $cos\frac{25\pi}{9}, sin\frac{4\pi}{5}, cos\frac{4\pi}{9}, cos(-\frac{5\pi}{9})$.
Для этого сначала упростим каждое выражение, приведя аргументы к промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$ и определив знак каждого числа.
1. $cos\frac{25\pi}{9} = cos(2\pi + \frac{7\pi}{9}) = cos\frac{7\pi}{9}$. Угол $\frac{7\pi}{9}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Используя формулу приведения, $cos\frac{7\pi}{9} = cos(\pi - \frac{2\pi}{9}) = -cos\frac{2\pi}{9}$.
2. $sin\frac{4\pi}{5}$. Угол $\frac{4\pi}{5}$ находится во II четверти, где синус положителен. Используя формулу приведения, $sin\frac{4\pi}{5} = sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = sin\frac{\pi}{5}$.
3. $cos\frac{4\pi}{9}$. Угол $\frac{4\pi}{9}$ находится в I четверти, где косинус положителен.
4. $cos(-\frac{5\pi}{9})$. Так как косинус — четная функция, $cos(-\frac{5\pi}{9}) = cos\frac{5\pi}{9}$. Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. $cos\frac{5\pi}{9} = cos(\pi - \frac{4\pi}{9}) = -cos\frac{4\pi}{9}$.
Теперь нам нужно сравнить числа: $-cos\frac{2\pi}{9}$, $sin\frac{\pi}{5}$, $cos\frac{4\pi}{9}$, $-cos\frac{4\pi}{9}$.
Сравним отрицательные числа: $-cos\frac{2\pi}{9}$ и $-cos\frac{4\pi}{9}$. На промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y=cos(x)$ убывает. Поскольку $0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, то $cos\frac{2\pi}{9} > cos\frac{4\pi}{9}$. Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-cos\frac{2\pi}{9} < -cos\frac{4\pi}{9}$.
Сравним положительные числа: $sin\frac{\pi}{5}$ и $cos\frac{4\pi}{9}$. Приведем к одной функции: $cos\frac{4\pi}{9} = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9}) = sin(\frac{9\pi - 8\pi}{18}) = sin\frac{\pi}{18}$. На промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y=sin(x)$ возрастает. Поскольку $0 < \frac{\pi}{18} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, то $sin\frac{\pi}{18} < sin\frac{\pi}{5}$, следовательно, $cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{4\pi}{5}$.
Отрицательные числа всегда меньше положительных. Таким образом, итоговый порядок: $-cos\frac{2\pi}{9} < -cos\frac{4\pi}{9} < cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{\pi}{5}$.
Заменяя на исходные выражения, получаем: $cos\frac{25\pi}{9} < cos(-\frac{5\pi}{9}) < cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{4\pi}{5}$.
Ответ: $cos\frac{25\pi}{9}, cos(-\frac{5\pi}{9}), cos\frac{4\pi}{9}, sin\frac{4\pi}{5}$.
б) Расположим в порядке возрастания числа $tg(-\frac{5\pi}{7}), tg\frac{3\pi}{8}, ctg\frac{15\pi}{8}, tg(-\frac{7\pi}{16})$.
Упростим каждое выражение:
1. $tg(-\frac{5\pi}{7}) = -tg\frac{5\pi}{7} = -tg(\pi-\frac{2\pi}{7}) = -(-tg\frac{2\pi}{7}) = tg\frac{2\pi}{7}$. Это положительное число.
2. $tg\frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ в I четверти, поэтому тангенс положителен.
3. $ctg\frac{15\pi}{8} = ctg(2\pi - \frac{\pi}{8}) = ctg(-\frac{\pi}{8}) = -ctg\frac{\pi}{8}$. Это отрицательное число.
4. $tg(-\frac{7\pi}{16}) = -tg\frac{7\pi}{16}$. Это отрицательное число.
Имеем два положительных числа ($tg\frac{2\pi}{7}$, $tg\frac{3\pi}{8}$) и два отрицательных ($-ctg\frac{\pi}{8}$, $-tg\frac{7\pi}{16}$).
Сравним отрицательные числа. Для этого сравним $ctg\frac{\pi}{8}$ и $tg\frac{7\pi}{16}$. Приведем к одной функции: $ctg\frac{\pi}{8} = tg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}) = tg\frac{3\pi}{8}$. Сравним $tg\frac{3\pi}{8}$ и $tg\frac{7\pi}{16}$. Аргументы $\frac{3\pi}{8} = \frac{6\pi}{16}$ и $\frac{7\pi}{16}$ находятся в I четверти, где тангенс возрастает. Так как $\frac{6\pi}{16} < \frac{7\pi}{16}$, то $tg\frac{3\pi}{8} < tg\frac{7\pi}{16}$. Значит $ctg\frac{\pi}{8} < tg\frac{7\pi}{16}$, и $-ctg\frac{\pi}{8} > -tg\frac{7\pi}{16}$. Следовательно, $tg(-\frac{7\pi}{16}) < ctg\frac{15\pi}{8}$.
Сравним положительные числа: $tg\frac{2\pi}{7}$ и $tg\frac{3\pi}{8}$. Сравним аргументы $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{8}$. $\frac{2}{7} = \frac{16}{56}$, $\frac{3}{8} = \frac{21}{56}$. Так как $\frac{16}{56} < \frac{21}{56}$, то $\frac{2\pi}{7} < \frac{3\pi}{8}$. Поскольку тангенс возрастает в I четверти, $tg\frac{2\pi}{7} < tg\frac{3\pi}{8}$.
Объединяя результаты, получаем: $tg(-\frac{7\pi}{16}) < ctg\frac{15\pi}{8} < tg(-\frac{5\pi}{7}) < tg\frac{3\pi}{8}$.
Ответ: $tg(-\frac{7\pi}{16}), ctg\frac{15\pi}{8}, tg(-\frac{5\pi}{7}), tg\frac{3\pi}{8}$.
в) Расположим в порядке возрастания числа $ctg\frac{9\pi}{10}, ctg\frac{12\pi}{5}, tg\frac{6\pi}{5}, ctg\frac{7\pi}{15}$.
Упростим каждое выражение:
1. $ctg\frac{9\pi}{10} = ctg(\pi - \frac{\pi}{10}) = -ctg\frac{\pi}{10}$. Это отрицательное число.
2. $ctg\frac{12\pi}{5} = ctg(2\pi + \frac{2\pi}{5}) = ctg\frac{2\pi}{5}$. Это положительное число.
3. $tg\frac{6\pi}{5} = tg(\pi + \frac{\pi}{5}) = tg\frac{\pi}{5}$. Это положительное число.
4. $ctg\frac{7\pi}{15}$. Угол $\frac{7\pi}{15}$ в I четверти ($7/15 < 1/2$), поэтому это положительное число.
У нас одно отрицательное число, $-ctg\frac{\pi}{10}$, оно будет наименьшим.
Сравним три положительных числа: $ctg\frac{2\pi}{5}$, $tg\frac{\pi}{5}$, $ctg\frac{7\pi}{15}$. Приведем все к котангенсу: $tg\frac{\pi}{5} = ctg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = ctg\frac{3\pi}{10}$.
Теперь сравним $ctg\frac{2\pi}{5}$, $ctg\frac{3\pi}{10}$ и $ctg\frac{7\pi}{15}$. Для этого сравним их аргументы: $\frac{2\pi}{5}, \frac{3\pi}{10}, \frac{7\pi}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{2}{5} = \frac{12}{30}$, $\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$, $\frac{7}{15} = \frac{14}{30}$.
Получаем порядок аргументов: $\frac{9\pi}{30} < \frac{12\pi}{30} < \frac{14\pi}{30}$, то есть $\frac{3\pi}{10} < \frac{2\pi}{5} < \frac{7\pi}{15}$.
Функция $y=ctg(x)$ убывает на $(0, \frac{\pi}{2})$, поэтому для значений функции порядок будет обратным: $ctg\frac{3\pi}{10} > ctg\frac{2\pi}{5} > ctg\frac{7\pi}{15}$.
Возвращаясь к исходным выражениям, получаем: $tg\frac{6\pi}{5} > ctg\frac{12\pi}{5} > ctg\frac{7\pi}{15}$.
Таким образом, итоговый порядок возрастания: $ctg\frac{9\pi}{10} < ctg\frac{7\pi}{15} < ctg\frac{12\pi}{5} < tg\frac{6\pi}{5}$.
Ответ: $ctg\frac{9\pi}{10}, ctg\frac{7\pi}{15}, ctg\frac{12\pi}{5}, tg\frac{6\pi}{5}$.
г) Расположим в порядке возрастания числа $sin(-\frac{5\pi}{12}), cos\frac{13\pi}{24}, sin\frac{5\pi}{24}, sin\frac{17\pi}{6}$.
Упростим каждое выражение:
1. $sin(-\frac{5\pi}{12}) = -sin\frac{5\pi}{12}$. Это отрицательное число.
2. $cos\frac{13\pi}{24}$. Угол $\frac{13\pi}{24}$ во II четверти ($12\pi/24 < 13\pi/24 < 24\pi/24$), косинус отрицателен. $cos\frac{13\pi}{24} = cos(\pi - \frac{11\pi}{24}) = -cos\frac{11\pi}{24}$.
3. $sin\frac{5\pi}{24}$. Это положительное число.
4. $sin\frac{17\pi}{6} = sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = sin\frac{5\pi}{6} = sin(\pi-\frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{6}$. Это положительное число.
Имеем два отрицательных и два положительных числа.
Сравним отрицательные числа: $-sin\frac{5\pi}{12}$ и $-cos\frac{11\pi}{24}$. Сравним $sin\frac{5\pi}{12}$ и $cos\frac{11\pi}{24}$. Приведем к синусу: $cos\frac{11\pi}{24} = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{11\pi}{24}) = sin\frac{\pi}{24}$. Сравним $sin\frac{5\pi}{12}$ и $sin\frac{\pi}{24}$. $5\pi/12 = 10\pi/24$. На $(0, \frac{\pi}{2})$ синус возрастает. Так как $\frac{10\pi}{24} > \frac{\pi}{24}$, то $sin\frac{10\pi}{24} > sin\frac{\pi}{24}$, т.е. $sin\frac{5\pi}{12} > cos\frac{11\pi}{24}$. Умножив на -1, получаем $-sin\frac{5\pi}{12} < -cos\frac{11\pi}{24}$, то есть $sin(-\frac{5\pi}{12}) < cos\frac{13\pi}{24}$.
Сравним положительные числа: $sin\frac{5\pi}{24}$ и $sin\frac{\pi}{6}$. Сравним аргументы: $\frac{5\pi}{24}$ и $\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{24}$. Так как $\frac{5\pi}{24} > \frac{4\pi}{24}$, а синус возрастает на $(0, \frac{\pi}{2})$, то $sin\frac{5\pi}{24} > sin\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $sin\frac{5\pi}{24} > sin\frac{17\pi}{6}$.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $sin(-\frac{5\pi}{12}) < cos\frac{13\pi}{24} < sin\frac{17\pi}{6} < sin\frac{5\pi}{24}$.
Ответ: $sin(-\frac{5\pi}{12}), cos\frac{13\pi}{24}, sin\frac{17\pi}{6}, sin\frac{5\pi}{24}$.
№91 (с. 48)
Условие. №91 (с. 48)
91. Докажите, что функция:
a) $f(x) = x^4 + 3x$ возрастает на $[0; \infty)$;
б) $f(x) = -x^3 - 2x$ убывает на $\mathbb{R}$;
в) $f(x) = x^6 - 0,5$ убывает на $(-\infty; 0];
г) $f(x) = x^5 + 1,5x$ возрастает на $\mathbb{R}$.
Решение 1. №91 (с. 48)
Решение 3. №91 (с. 48)
Решение 4. №91 (с. 48)
Решение 5. №91 (с. 48)
Для доказательства монотонности функции на заданном промежутке используется производная. Если производная функции $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает. Если $f'(x) \geq 0$ (или $f'(x) \leq 0$) и равенство нулю достигается лишь в отдельных точках, то функция также является возрастающей (соответственно, убывающей).
а)
Дана функция $f(x) = x^4 + 3x$. Требуется доказать, что она возрастает на промежутке $[0; \infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 3x)' = 4x^3 + 3$.
Определим знак производной на заданном промежутке $x \in [0; \infty)$.
Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$.
Следовательно, $4x^3 \ge 0$, и $f'(x) = 4x^3 + 3 \ge 3$.
Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $[0; \infty)$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом промежутке.
Ответ: Доказано.
б)
Дана функция $f(x) = -x^3 - 2x$. Требуется доказать, что она убывает на $R$ (на всей числовой прямой).
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^3 - 2x)' = -3x^2 - 2$.
Определим знак производной для любого действительного числа $x$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Тогда $-3x^2 \le 0$.
Следовательно, $f'(x) = -3x^2 - 2 \le -2$.
Так как производная $f'(x) < 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.
в)
Дана функция $f(x) = x^6 - 0,5$. Требуется доказать, что она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^6 - 0,5)' = 6x^5$.
Рассмотрим знак производной на заданном промежутке $x \in (-\infty; 0]$.
Если $x < 0$, то $x$ в нечетной степени ($x^5$) будет отрицательным, то есть $x^5 < 0$.
Если $x = 0$, то $x^5 = 0$.
Таким образом, для всех $x \in (-\infty; 0]$ выполняется неравенство $f'(x) = 6x^5 \le 0$.
Так как производная $f'(x) \le 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$ и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Ответ: Доказано.
г)
Дана функция $f(x) = x^5 + 1,5x$. Требуется доказать, что она возрастает на $R$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 1,5x)' = 5x^4 + 1,5$.
Определим знак производной для любого действительного числа $x$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, так как $x$ возводится в четную степень: $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Тогда $5x^4 \ge 0$.
Следовательно, $f'(x) = 5x^4 + 1,5 \ge 1,5$.
Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.
№92 (с. 48)
Условие. №92 (с. 48)
92. Докажите следующие утверждения:
а) если $f$ - четная функция, $x_0$ - точка максимума, то $-x_0$ является точкой максимума;
б) если $f$ - нечетная функция и на промежутке $[a; b]$ она убывает, то и на промежутке $[-b; -a]$ функция $f$ убывает;
в) если $f$ - нечетная функция, $x_0$ - точка минимума, то $-x_0$ является точкой максимума;
г) если $f$ - четная функция и на промежутке $[a; b]$ функция возрастает, то на промежутке $[-b; -a]$ она убывает.
Решение 1. №92 (с. 48)
Решение 3. №92 (с. 48)
Решение 4. №92 (с. 48)
Решение 5. №92 (с. 48)
а) если f — четная функция, x0 — точка максимума, то −x0 является точкой максимума;
Пусть $f(x)$ — четная функция, а $x_0$ — точка ее максимума. Это означает, что существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для любого $x$ из этой окрестности ($x \in U$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.
По определению четной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Отсюда следует, что $f(-x_0) = f(x_0)$.
Рассмотрим точку $-x_0$. Поскольку область определения четной функции симметрична относительно нуля, точка $-x_0$ также принадлежит ей. Определим окрестность $V$ для точки $-x_0$ как множество всех точек $-x$, где $x \in U$. То есть, $V = \{y \mid -y \in U\}$.
Возьмем произвольную точку $y \in V$. По определению окрестности $V$, точка $x = -y$ принадлежит окрестности $U$. Следовательно, для нее выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$, или $f(-y) \le f(x_0)$.
Так как $f$ — четная функция, $f(-y) = f(y)$. Также мы знаем, что $f(x_0) = f(-x_0)$. Подставив это в неравенство, получаем: $f(y) \le f(-x_0)$.
Это неравенство выполняется для любой точки $y$ из окрестности $V$ точки $-x_0$. По определению, это означает, что $-x_0$ является точкой максимума.
Ответ: утверждение доказано.
б) если f — нечетная функция и на промежутке [a; b] она убывает, то и на промежутке [−b; −a] функция f убывает;
Пусть $f(x)$ — нечетная функция, убывающая на промежутке $[a; b]$. Условие убывания означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
По определению нечетной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Рассмотрим промежуток $[-b; -a]$. Возьмем две произвольные точки $y_1, y_2$ из этого промежутка такие, что $y_1 < y_2$. Таким образом, $-b \le y_1 < y_2 \le -a$.
Умножим это двойное неравенство на $-1$, знаки неравенства изменятся на противоположные: $b \ge -y_1 > -y_2 \ge a$, или $a \le -y_2 < -y_1 \le b$.
Обозначим $x_1 = -y_2$ и $x_2 = -y_1$. Тогда $x_1, x_2 \in [a; b]$ и $x_1 < x_2$.
Поскольку функция $f$ убывает на $[a; b]$, то для $x_1$ и $x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Подставив обратно наши обозначения, получаем: $f(-y_2) > f(-y_1)$.
Теперь воспользуемся свойством нечетности функции $f$: $f(-y_2) = -f(y_2)$ и $f(-y_1) = -f(y_1)$. Неравенство принимает вид: $-f(y_2) > -f(y_1)$.
Умножим обе части этого неравенства на $-1$, снова изменив знак неравенства: $f(y_2) < f(y_1)$, что эквивалентно $f(y_1) > f(y_2)$.
Итак, мы показали, что для любых $y_1, y_2 \in [-b; -a]$ из того, что $y_1 < y_2$, следует $f(y_1) > f(y_2)$. Это и есть определение убывающей функции на промежутке $[-b; -a]$.
Ответ: утверждение доказано.
в) если f — нечетная функция, x0 — точка минимума, то −x0 является точкой максимума;
Пусть $f(x)$ — нечетная функция, а $x_0$ — точка ее минимума. Это означает, что существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для любого $x \in U$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.
По определению нечетной функции, $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Отсюда $f(-x_0) = -f(x_0)$.
Рассмотрим точку $-x_0$ и ее окрестность $V = \{y \mid -y \in U\}$. Возьмем произвольную точку $y \in V$. Тогда $x = -y \in U$.
Для точки $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Подставим $x = -y$: $f(-y) \ge f(x_0)$.
Используя свойство нечетности $f(-y) = -f(y)$ и $f(x_0) = -f(-x_0)$, перепишем неравенство: $-f(y) \ge -f(-x_0)$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $f(y) \le f(-x_0)$.
Это неравенство выполняется для любой точки $y$ из окрестности $V$ точки $-x_0$. Следовательно, точка $-x_0$ является точкой максимума.
Ответ: утверждение доказано.
г) если f — четная функция и на промежутке [a; b] функция возрастает, то на промежутке [−b; −a] она убывает.
Пусть $f(x)$ — четная функция, возрастающая на промежутке $[a; b]$. Условие возрастания означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
По определению четной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Рассмотрим промежуток $[-b; -a]$. Возьмем две произвольные точки $y_1, y_2$ из этого промежутка такие, что $y_1 < y_2$. Таким образом, $-b \le y_1 < y_2 \le -a$.
Умножим это неравенство на $-1$: $b \ge -y_1 > -y_2 \ge a$, или $a \le -y_2 < -y_1 \le b$.
Обозначим $x_1 = -y_2$ и $x_2 = -y_1$. Тогда $x_1, x_2 \in [a; b]$ и $x_1 < x_2$.
Поскольку функция $f$ возрастает на $[a; b]$, то для $x_1$ и $x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Подставив обратно наши обозначения, получаем: $f(-y_2) < f(-y_1)$.
Теперь воспользуемся свойством четности функции $f$: $f(-y_2) = f(y_2)$ и $f(-y_1) = f(y_1)$. Неравенство принимает вид: $f(y_2) < f(y_1)$, что эквивалентно $f(y_1) > f(y_2)$.
Итак, мы показали, что для любых $y_1, y_2 \in [-b; -a]$ из того, что $y_1 < y_2$, следует $f(y_1) > f(y_2)$. Это определение убывающей функции на промежутке $[-b; -a]$.
Ответ: утверждение доказано.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.