Номер 92, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 92, страница 48.

Условие.

92. Докажите следующие утверждения:

а) если $f$ - четная функция, $x_0$ - точка максимума, то $-x_0$ является точкой максимума;

б) если $f$ - нечетная функция и на промежутке $[a; b]$ она убывает, то и на промежутке $[-b; -a]$ функция $f$ убывает;

в) если $f$ - нечетная функция, $x_0$ - точка минимума, то $-x_0$ является точкой максимума;

г) если $f$ - четная функция и на промежутке $[a; b]$ функция возрастает, то на промежутке $[-b; -a]$ она убывает.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) если f — четная функция, x₀ — точка максимума, то −x₀ является точкой максимума;

Пусть $f(x)$ — четная функция, а $x_0$ — точка ее максимума. Это означает, что существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для любого $x$ из этой окрестности ($x \in U$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

По определению четной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Отсюда следует, что $f(-x_0) = f(x_0)$.

Рассмотрим точку $-x_0$. Поскольку область определения четной функции симметрична относительно нуля, точка $-x_0$ также принадлежит ей. Определим окрестность $V$ для точки $-x_0$ как множество всех точек $-x$, где $x \in U$. То есть, $V = \{y \mid -y \in U\}$.

Возьмем произвольную точку $y \in V$. По определению окрестности $V$, точка $x = -y$ принадлежит окрестности $U$. Следовательно, для нее выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$, или $f(-y) \le f(x_0)$.

Так как $f$ — четная функция, $f(-y) = f(y)$. Также мы знаем, что $f(x_0) = f(-x_0)$. Подставив это в неравенство, получаем: $f(y) \le f(-x_0)$.

Это неравенство выполняется для любой точки $y$ из окрестности $V$ точки $-x_0$. По определению, это означает, что $-x_0$ является точкой максимума.

Ответ: утверждение доказано.

б) если f — нечетная функция и на промежутке [a; b] она убывает, то и на промежутке [−b; −a] функция f убывает;

Пусть $f(x)$ — нечетная функция, убывающая на промежутке $[a; b]$. Условие убывания означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

По определению нечетной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим промежуток $[-b; -a]$. Возьмем две произвольные точки $y_1, y_2$ из этого промежутка такие, что $y_1 < y_2$. Таким образом, $-b \le y_1 < y_2 \le -a$.

Умножим это двойное неравенство на $-1$, знаки неравенства изменятся на противоположные: $b \ge -y_1 > -y_2 \ge a$, или $a \le -y_2 < -y_1 \le b$.

Обозначим $x_1 = -y_2$ и $x_2 = -y_1$. Тогда $x_1, x_2 \in [a; b]$ и $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f$ убывает на $[a; b]$, то для $x_1$ и $x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Подставив обратно наши обозначения, получаем: $f(-y_2) > f(-y_1)$.

Теперь воспользуемся свойством нечетности функции $f$: $f(-y_2) = -f(y_2)$ и $f(-y_1) = -f(y_1)$. Неравенство принимает вид: $-f(y_2) > -f(y_1)$.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$, снова изменив знак неравенства: $f(y_2) < f(y_1)$, что эквивалентно $f(y_1) > f(y_2)$.

Итак, мы показали, что для любых $y_1, y_2 \in [-b; -a]$ из того, что $y_1 < y_2$, следует $f(y_1) > f(y_2)$. Это и есть определение убывающей функции на промежутке $[-b; -a]$.

Ответ: утверждение доказано.

в) если f — нечетная функция, x₀ — точка минимума, то −x₀ является точкой максимума;

Пусть $f(x)$ — нечетная функция, а $x_0$ — точка ее минимума. Это означает, что существует такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для любого $x \in U$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

По определению нечетной функции, $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Отсюда $f(-x_0) = -f(x_0)$.

Рассмотрим точку $-x_0$ и ее окрестность $V = \{y \mid -y \in U\}$. Возьмем произвольную точку $y \in V$. Тогда $x = -y \in U$.

Для точки $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Подставим $x = -y$: $f(-y) \ge f(x_0)$.

Используя свойство нечетности $f(-y) = -f(y)$ и $f(x_0) = -f(-x_0)$, перепишем неравенство: $-f(y) \ge -f(-x_0)$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $f(y) \le f(-x_0)$.

Это неравенство выполняется для любой точки $y$ из окрестности $V$ точки $-x_0$. Следовательно, точка $-x_0$ является точкой максимума.

Ответ: утверждение доказано.

г) если f — четная функция и на промежутке [a; b] функция возрастает, то на промежутке [−b; −a] она убывает.

Пусть $f(x)$ — четная функция, возрастающая на промежутке $[a; b]$. Условие возрастания означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

По определению четной функции, для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим промежуток $[-b; -a]$. Возьмем две произвольные точки $y_1, y_2$ из этого промежутка такие, что $y_1 < y_2$. Таким образом, $-b \le y_1 < y_2 \le -a$.

Умножим это неравенство на $-1$: $b \ge -y_1 > -y_2 \ge a$, или $a \le -y_2 < -y_1 \le b$.

Обозначим $x_1 = -y_2$ и $x_2 = -y_1$. Тогда $x_1, x_2 \in [a; b]$ и $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f$ возрастает на $[a; b]$, то для $x_1$ и $x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Подставив обратно наши обозначения, получаем: $f(-y_2) < f(-y_1)$.

Теперь воспользуемся свойством четности функции $f$: $f(-y_2) = f(y_2)$ и $f(-y_1) = f(y_1)$. Неравенство принимает вид: $f(y_2) < f(y_1)$, что эквивалентно $f(y_1) > f(y_2)$.

Итак, мы показали, что для любых $y_1, y_2 \in [-b; -a]$ из того, что $y_1 < y_2$, следует $f(y_1) > f(y_2)$. Это определение убывающей функции на промежутке $[-b; -a]$.

Ответ: утверждение доказано.