Номер 85, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 85, страница 47.

Условие.

85. a) $y = 1 + 2 \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \sin x + 1;$

В) $y = - \operatorname{tg} x;$

Г) $y = \cos x - 1.$

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = 1 + 2 \tg x$. Данная функция является преобразованием основной тригонометрической функции $y = \tg x$. График этой функции можно получить из графика $y = \tg x$ путем двух последовательных преобразований: растяжения вдоль оси ординат (OY) в 2 раза, а затем параллельного переноса (сдвига) вдоль той же оси на 1 единицу вверх.

Проанализируем основные свойства функции:

• Область определения: Функция тангенса $\tg x$ не определена в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Область значений $\tg x$ — это все действительные числа $(-\infty, +\infty)$. Растяжение и сдвиг не меняют эту область, поэтому $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $\tg x$ равен $\pi$. Преобразования не влияют на период, следовательно, период $T=\pi$.
• Четность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1 + 2\tg(-x) = 1 - 2\tg x \neq \pm y(x)$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты функции совпадают с асимптотами $y = \tg x$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y=1+2\tg x$ имеет область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, область значений $(-\infty, +\infty)$, период $\pi$ и является функцией общего вида. Её график получается из графика $y=\tg x$ растяжением в 2 раза вдоль оси OY и сдвигом на 1 единицу вверх.

б) $y = \sin x + 1$. Данная функция является результатом преобразования основной тригонометрической функции $y = \sin x$. Ее график получается из графика синусоиды $y = \sin x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат OY.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Стандартная область значений для $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При сдвиге на 1 вверх, все значения $y$ увеличиваются на 1. Таким образом, область значений функции $y = \sin x + 1$ есть отрезок $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Вертикальный сдвиг не изменяет период, поэтому период $T = 2\pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Проверка: $y(-x) = \sin(-x) + 1 = -\sin x + 1$. Это выражение не равно ни $y(x) = \sin x + 1$, ни $-y(x) = -\sin x - 1$.

Ответ: Функция $y = \sin x + 1$ имеет область определения $\mathbb{R}$, область значений $[0, 2]$, период $2\pi$ и является функцией общего вида. Её график получается сдвигом графика $y=\sin x$ на 1 единицу вверх.

в) $y = -\tg x$. Эта функция является преобразованием функции $y = \tg x$. Ее график можно получить из графика тангенсоиды $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс OX.

Основные свойства функции:

• Область определения: Область определения совпадает с областью определения $y=\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Область значений функции $y = \tg x$ — это все действительные числа $(-\infty, +\infty)$. Отражение не влияет на множество значений, поэтому $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Периодичность: Период функции $y = \tg x$ равен $\pi$. Отражение не изменяет период, следовательно, период $T=\pi$.
• Четность: Функция является нечетной. Проверка: $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x$. Так как $-y(x) = -(-\tg x) = \tg x$, то выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты не изменяются и имеют уравнения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = -\tg x$ имеет область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, область значений $(-\infty, +\infty)$, период $\pi$ и является нечетной. Её график получается отражением графика $y=\tg x$ относительно оси OX.

г) $y = \cos x - 1$. Данная функция является результатом преобразования основной тригонометрической функции $y = \cos x$. Ее график получается из графика косинусоиды $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат OY.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Стандартная область значений для $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При сдвиге на 1 вниз, все значения $y$ уменьшаются на 1. Таким образом, область значений функции $y = \cos x - 1$ есть отрезок $[-1-1, 1-1]$, то есть $E(y) = [-2, 0]$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Вертикальный сдвиг не изменяет период, поэтому период $T = 2\pi$.
• Четность: Функция является четной. Проверка: $y(-x) = \cos(-x) - 1$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), то $y(-x) = \cos x - 1 = y(x)$. Равенство $y(-x) = y(x)$ выполняется.

Ответ: Функция $y = \cos x - 1$ имеет область определения $\mathbb{R}$, область значений $[-2, 0]$, период $2\pi$ и является четной. Её график получается сдвигом графика $y=\cos x$ на 1 единицу вниз.