Номер 79, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 79, страница 47.

Условие.

79. a) $x_{\text{max}} = -3, x_{\text{min}} = 4, f(-3) = 5, f(4) = -5;$

б) $x_{\text{min}} = -2, x_{\text{min}} = 2, x_{\text{max}} = 0,$
$f(-2) = f(2) = -3, f(0) = 2;$

в) $x_{\text{min}} = -5, x_{\text{max}} = 2,$
$f(-5) = 1, f(2) = 6;$

г) $x_{\text{max}} = -4, x_{\text{max}} = 3, x_{\text{min}} = -1,$
$f(-4) = 5, f(3) = 2, f(-1) = -2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо сравнить её значения на концах отрезка и в критических точках (точках локального максимума и минимума), которые лежат внутри отрезка. В данном случае отрезок определяется заданными точками $x = -3$ и $x = 4$, то есть это отрезок $[-3, 4]$.
Нам даны точки экстремума, которые совпадают с концами отрезка: точка максимума $x_{max} = -3$ и точка минимума $x_{min} = 4$.
Значения функции в этих точках: $f(-3) = 5$ и $f(4) = -5$.
Сравниваем эти значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-3), f(4)) = \max(5, -5) = 5$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-3), f(4)) = \min(5, -5) = -5$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение функции равно -5.

б) Рассматривается функция на отрезке, определяемом крайними из заданных абсцисс: $[-2, 2]$.
На концах отрезка находятся точки минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 2$.
Внутри отрезка находится точка максимума: $x_{max} = 0$.
Значения функции в этих точках: $f(-2) = -3$, $f(2) = -3$ и $f(0) = 2$.
Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критической точке внутри него:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-2), f(2), f(0)) = \max(-3, -3, 2) = 2$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-2), f(2), f(0)) = \min(-3, -3, 2) = -3$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно -3.

в) Рассматривается функция на отрезке $[-5, 2]$.
Точки экстремума совпадают с концами отрезка: точка минимума $x_{min} = -5$ и точка максимума $x_{max} = 2$.
Значения функции в этих точках: $f(-5) = 1$ и $f(2) = 6$.
Сравниваем эти значения:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-5), f(2)) = \max(1, 6) = 6$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-5), f(2)) = \min(1, 6) = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение функции равно 1.

г) Рассматривается функция на отрезке $[-4, 3]$.
На концах отрезка находятся точки максимума: $x_{max} = -4$ и $x_{max} = 3$.
Внутри отрезка находится точка минимума: $x_{min} = -1$.
Значения функции в этих точках: $f(-4) = 5$, $f(3) = 2$ и $f(-1) = -2$.
Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критической точке внутри него:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-4), f(3), f(-1)) = \max(5, 2, -2) = 5$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-4), f(3), f(-1)) = \min(5, 2, -2) = -2$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение функции равно -2.