Номер 80, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 80, страница 47.

Условие.

80.— a) $f$ — четная функция, $x_{\text{max}} = -3$, $x_{\text{min}} = 0$,

$f (-3) = 4$, $f (0) = 0$;

б) $f$ — нечетная функция, $x_{\text{max}} = 2$, $x_{\text{min}} = 5$,

$f (2) = 3$, $f (5) = -4$;

в) $f$ — четная функция, $x_{\text{min}} = 4$, $x_{\text{max}} = 0$,

$f (4) = -2$, $f (0) = 2$;

г) $f$ — нечетная функция, $x_{\text{min}} = -4$, $x_{\text{max}} = -1$,

$f (-4) = -3$, $f (-1) = 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана четная функция $f(x)$. Для четной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если $x_0$ является точкой максимума (или минимума), то и $-x_0$ является точкой максимума (или минимума) с тем же значением функции.

Нам дано, что $x_{max} = -3$ и $f(-3) = 4$. Из свойства четности следует, что $x = -(-3) = 3$ также является точкой максимума, и $f(3) = f(-3) = 4$.

Нам дано, что $x_{min} = 0$ и $f(0) = 0$. Точка $x=0$ находится на оси симметрии, поэтому она не порождает другой точки экстремума.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = -3$ и $x_{max} = 3$, значение в точках максимума $f(-3) = f(3) = 4$. Точка минимума: $x_{min} = 0$, значение в точке минимума $f(0) = 0$.

б) Дана нечетная функция $f(x)$. По определению нечетной функции, $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. Если $x_0$ является точкой максимума, то из-за симметрии точка $-x_0$ будет точкой минимума, и значение функции в ней будет $f(-x_0) = -f(x_0)$. Аналогично, если $x_0$ — точка минимума, то $-x_0$ — точка максимума.

По условию, $x_{max} = 2$ — точка максимума, и $f(2) = 3$. Следовательно, из-за нечетности функции, точка $x = -2$ является точкой минимума, и значение функции в ней $f(-2) = -f(2) = -3$.

Также по условию, $x_{min} = 5$ — точка минимума, и $f(5) = -4$. Следовательно, точка $x = -5$ является точкой максимума, и значение функции в ней $f(-5) = -f(5) = -(-4) = 4$.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = 2$ со значением $f(2) = 3$ и $x_{max} = -5$ со значением $f(-5) = 4$. Точки минимума: $x_{min} = 5$ со значением $f(5) = -4$ и $x_{min} = -2$ со значением $f(-2) = -3$.

в) Дана четная функция $f(x)$, для которой $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат. Если $x_0$ — точка экстремума, то и $-x_0$ — точка экстремума того же типа со значением $f(-x_0) = f(x_0)$.

По условию, $x_{min} = 4$ — точка минимума, и $f(4) = -2$. Из свойства четности следует, что $x = -4$ также является точкой минимума, и $f(-4) = f(4) = -2$.

Дано, что $x_{max} = 0$ — точка максимума, и $f(0) = 2$. Эта точка лежит на оси симметрии, поэтому она не дает новой точки экстремума.

Ответ: точка максимума: $x_{max} = 0$, значение в точке максимума $f(0) = 2$. Точки минимума: $x_{min} = 4$ и $x_{min} = -4$, значение в точках минимума $f(4) = f(-4) = -2$.

г) Дана нечетная функция $f(x)$, для которой $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Если $x_0$ — точка максимума (минимума), то $-x_0$ — точка минимума (максимума) со значением $f(-x_0) = -f(x_0)$.

По условию, $x_{min} = -4$ — точка минимума, и $f(-4) = -3$. Из свойства нечетности следует, что $x = -(-4) = 4$ является точкой максимума, и значение функции в ней $f(4) = -f(-4) = -(-3) = 3$.

Также по условию, $x_{max} = -1$ — точка максимума, и $f(-1) = 1$. Следовательно, точка $x = -(-1) = 1$ является точкой минимума, и значение функции в ней $f(1) = -f(-1) = -1$.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = -1$ со значением $f(-1) = 1$ и $x_{max} = 4$ со значением $f(4) = 3$. Точки минимума: $x_{min} = -4$ со значением $f(-4) = -3$ и $x_{min} = 1$ со значением $f(1) = -1$.